Mathematics

We will start the lecture from the description of basic mathematical notions such as sets, numbers, relations, functions. Next, we will describe basic types of functions: linear, exponential and logarythmic as well as logarithms and its applications. The main part on the lecture will be devoted to mathematical analysis. We will define the notion of limit (in the context of sequences and functions), continuity and differentiability of one variable functions. We will try to understand geometrical and physical interpretations of derivative. Next we will describe an extremum and study the dependence between extrema and convexity (concavity) of the function. The theoretical part of the lecture will end with the description of primitive function and the notion of integral and its geometrical interpretation. In the last part of the lecture we will focus on mathematical modelling of biological phenomena. Therefore, it will be necessary to introduce the notion of ordinary differential equations. On the basis we will study some models of population dynamics (equation of Malthus, logistic equation, competition, predation, symbiosis). We will introduce some basic notions of the probability theory and define Markov chains and its applications for models of evolution.

Wiedza i umiejętności:

1. Rozumie rolę matematyki jako narzędzia pomagającego zrozumieć istotę zjawisk fizycznych, ekonomicznych i biologicznych.
2. Rozumie rolę logiki i rozumowań dedukcyjnych w naukach ścisłych i przyrodniczych. Umie sprawdzić czy dane zdanie logiczne jest tautologią.
3. Zna podstawowe pojęcia matematyczne. Wie co to są zbiory, relacje, liczby naturalne, wymierne, rzeczywiste, zespolone. Zna pojęcie równoliczności zbiorów. Wie co to jest wektor, macierz, przestrzeń wektorowa.
4. Wie jak wyglądają wykresy funkcji elementarnych: potęgowej, wykładniczej, logarytmicznej i funkcji trygonometrycznych oraz co taki wykres oznacza. Umie naszkicować wykresy tych funkcji.
5. Wie co to jest skala logarytmiczna, zna przykłady stosowania takich skal (skala pH, skala Richtera, skala głośności).
6. Wie co to jest ciąg liczbowy, szereg liczbowy. Umie policzyć granicę prostego ciągu, sumę szeregu geometrycznego.
7. Wie co to jest procent prosty, procent składany, stopa nominalna, efektywna, kapitalizacja odsetek. Zna różnicę między spłatą kredytu w ratach równych i w ratach malejących.
8. Wie co to jest funkcja ciągła i czym różni się wykres funkcji ciągłej od wykresu funkcji nieciągłej.
9. Wie co opisuje pochodna funkcji jednej zmiennej, czym jest gradient funkcji wielu zmiennych. Rozumie rolę pochodnej w procesie wyznaczania wartości optymalnych oraz przybliżania wartości funkcji nieliniowych. Zna wzory na wyznaczanie pochodnych funkcji elementarnych.
10. Umie policzyć pochodne funkcji złożonych zbudowanych z funkcji elementarnych. Na podstawie wykresu pochodnej umie wskazać przedziały, na których funkcja rośnie/maleje i punkty, w których funkcja ma minima lub maksima lokalne.
11. Wie co to jest całka nieoznaczona i zna geometryczną interpretację całki oznaczonej. Umie policzyć pole pod wykresem funkcji wielomianowych.
12. Zna kilka podstawowych modeli matematycznych opisujących wzrost populacji i rozumie różnicę między modelami z czasem ciągłym lub dyskretnym.
13. Za pomocą odpowiednich rysunków, umie określić zachowanie rozwiązania jednego równania różnicowego lub różniczkowego.
14. Umie skonstruować i zinterpretować prosty model matematyczny opisujący zmiany zagęszczeń populacji.