Algebry operatorów na przestrzeniach Hilberta

fizyka
matematyka

monograficzne

Analiza funkcjonalna 1000-135AF

Analiza funkcjonalna 1000-135AF

w sali

Teoria algebr operatorów zajmuje się badaniem rodzin operatorów na przestrzeni Hilberta. Wyrosła z próby stworzenia przez von Neumanna aparatu matematycznego do opisu mechaniki kwantowej. Wykład zaczniemy od wprowadzenia do ogólnej teorii, obrazując analogie z teorią miary. Następnie skupimy się na przykładach, głównie pochodzących z teorii grup. W tym kontekście pojawia się wiele pojęć, które można zdefiniować dla ogólnych algebr operatorów. Ta motywacja posłuży nam do głębszego zbadania algebr von Neumanna, szczególnej klasy algebr operatorów o bardzo silnych związkach z teorią miary i teorią ergodyczną.

Poniższy plan może ulec modyfikacjom, w zależności od zainteresowań uczestników.

1. Twierdzenie spektralne dla operatorów samosprzężonych.

2. Rachunek funkcyjny.

3. Definicja C*-algebry.

4. Przykłady C*-algebr: algebry grupowe, algebry Cuntza.

5. Transformata Gelfanda i przemienne C*-algebry.

6. Twierdzenie Gelfanda-Najmarka: równoważność konkretnej i abstrakcyjnej definicji C*-algebr.

7. Słabe topologie i algebry von Neumanna.

8. Twierdzenie o bikomutancie.

9. Ślady na algebrach von Neumanna. Produkty krzyżowe.

Bardziej zaawansowane tematy, które być może uda się poruszyć:

10. Warunkowe wartości oczekiwane.

11. Przestrzenie L^p.

12. Injektywność algebr von Neumanna i związek ze średniowalnością grup.

1. W. Arveson "An invitation to C*-algebras".

2. K. Davidson "C*-algebras by example".

3. C. Anantharaman, S. Popa "An introduction to II_1 factors" https://www.math.ucla.edu/~popa/Books/IIun.pdf

Student po odbyciu kursu "Algebry operatorów na przestrzeni Hilberta" zna podstawowe definicje C*-algebr i rozumie użyteczność różnych podejść. Rozumie analogie między topologią i teorią miary a teorią algebr operatorów. Potrafi wskazać przykłady C*-algebr pojawiające się w innych dziedzinach matematyki.

Główną podstawą oceny będzie aktywność na ćwiczeniach. Na koniec semestru każdy z uczestników wykładu zostanie poproszony o wygłoszenie krótkiego referatu.