Grupy podstawowe w geometrii algebraicznej

monograficzne

w sali

Grupa podstawowa przestrzeni topologicznej to jeden z najprostszych niezmienników homotopijnych. Pozwala ona tłumaczyć pytania na temat "kształtu" przestrzeni na zagadnienia z teorii grup. Okazuje się, że podobne niezmienniki można zdefiniować dla rozmaitości algebraicznych nad dowolnym ciałem i innych obiektów znanych z geometrii algebraicznej. Na wykładzie poznamy zasadnicze fakty na temat grup podstawowych zespolonych rozmaitości algebraicznych oraz zdefiniujemy etalną grupę podstawową. Ten niezmiennik, wprowadzony przez Grothendiecka, pozwala w szczególności zinterpretować grupę Galois jako przykład grupy podstawowej, stanowiąc podstawę dla współczesnej geometrii arytmetycznej.

Grupa podstawowa przestrzeni topologicznej to jeden z najprostszych niezmienników homotopijnych. Pozwala ona tłumaczyć pytania na temat "kształtu" przestrzeni na zagadnienia z teorii grup. Okazuje się, że podobne niezmienniki można zdefiniować dla rozmaitości algebraicznych nad dowolnym ciałem i innych obiektów znanych z geometrii algebraicznej. Na wykładzie poznamy zasadnicze fakty na temat grup podstawowych zespolonych rozmaitości algebraicznych oraz zdefiniujemy etalną grupę podstawową. Ten niezmiennik, wprowadzony przez Grothendiecka, pozwala w szczególności zinterpretować grupę Galois jako przykład grupy podstawowej, stanowiąc podstawę dla współczesnej geometrii arytmetycznej.

Celem wykładu jest omówienie różnych wariantów pojęcia grupy podstawowej w geometrii algebraicznej oraz metod ich badania. Będziemy zakładali znajomość podstaw teorii schematów.

Wstępny plan wykładu:

0. Grupy podstawowe w topologii – przypomnienie i reinterpretacja

I. Grupy podstawowe zespolonych rozmaitości algebraicznych i rozmaitości Kaehlera

II. Etalna grupa podstawowa

Zagadnienia dodatkowe:

a. Geometria anabelowa

b. Pro-etalna grupa podstawowa Bhatta i Scholzego

c. Grupy podstawowe Tannaki, różniczkowa teoria Galois

Grothendieck, Alexandre. Revêtements étales et groupe fondamental (SGA1). Lecture Notes in Mathematics, Vol. 224, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1971.

Szamuely, Tamás. Galois groups and fundamental groups. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 117. Cambridge University Press, Cambridge, 2009.

Lazarsfeld, Robert. Positivity in algebraic geometry. I. Classical setting: line bundles and linear series. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 48. Springer-Verlag, Berlin, 2004.

Stix, Jakob. Rational points and arithmetic of fundamental groups. Evidence for the section conjecture. Lecture Notes in Mathematics, 2054. Springer, Heidelberg, 2013.

Courbes semi-stables et groupe fondamental en géométrie algébrique. (French) [Semistable curves and the fundamental group in algebraic geometry] Proceedings of the Conference on Fundamental Group of Curves in Algebraic Geometry held in Luminy, November 30–December 4, 1998. Edited by Jean-Benoît Bost, François Loeser and Michel Raynaud. Progress in Mathematics, 187. Birkhäuser Verlag, Basel, 2000.

Student potrafi podać definicję etalnej grupy podstawowej schematu oraz jej główne własności. Potrafi opisać jej związek z topologiczną grupą podstawową w przypadku zespolonej rozmaitości algebraicznej. Podaje podstawowe przykłady i prowadzi proste obliczenia.

Pisemna praca domowa, prezentacja lub pisemny projekt zaliczeniowy (ok. 5 stron), egzamin ustny.