Forcing iterowany

monograficzne

Wymagania wstępne:

Znajomość podstaw logiki I rzędu oraz teorii mnogości omawianych na wykładach fakultatywnych "Logika matematyczna" i "Teoria mnogości".

Znajomość topologii z zakresu przedmiotu "Topologia I" oraz podstaw forcingu (rozszerzenia generyczne, aksjomat Martina, niezależność hipotezy continuum od ZFC).

w sali

Forcing stosowany jest do wykazywania dowodów niesprzeczności zdań języka teorii mnogości z ZFC, pozwala on na rozszerzanie danego modelu teorii mnogości M do większego modelu M[G], gdzie G jest tzw. filtrem generycznym nad M.

Forcing iterowany to metoda rozszerzania danego modelu teorii mnogości M, używająca powyższego schematu wielokrotnie: model M rozszerzany jest do modelu M1 = M[G0], gdzie G0 jest filtrem generycznym nadM, następnie nowo powstały model M1 jest rozszerzany do modeluM1[G1], gdzie G1 jest filtrem generycznym nad M1, itd.

Stosując tę procedurę α razy, gdzie α ∈ M jest liczbą porządkową, otrzymuje się złożony model będący rozszerzeniem M.

Celem wykładu będzie omówienie tej zaawansowanej techniki wraz z zaprezentowaniem jej zastosowań. Forcing iterowany stanowi obecnie niezbędne narzędzie w prowadzeniu badań na polu teorii mnogości, topologii i innych dziedzin, gdzie rozwiązania problemów badawczych zależą od przyjętej aksjomatyki teoriomnogościowej.

Wykład będzie kontynuacją aktualnie prowadzonego wykładu monograficznego "Forcing" i skierowany jest do studentów, którzy znają już podstawy tej techniki.

Opis wykładu

1. Forcing produktowy ze skończonymi nośnikami, przykłady zastosowań.

2. Forcing iterowany dwustopniowy.

3. Forcing iterowany ze skończonymi nośnikami. Niesprzeczność aksjomatu Martina i negacji hipotezy continuum z ZFC.

4. Forcing iterowany z przeliczalnymi nośnikami. Forcing spełniający aksjomat A i jego własności.

5. Iterowany forcing Lavera: niesprzeczność hipotezy Borela z ZFC, Q-punkty i Q-zbiory w modelu Lavera.

6. Iterowany forcing Sacksa: współczynniki kardynalne w modelu Sacksa.

7. Frocing właściwy, twierdzenie o iterowaniu forcingu właściwego.

Literatura

[1] U. Abraham, Proper Forcing in: Foreman, M., Kanamori, A. (eds) Handbook of Set Theory. Springer, Dordrecht (2010).

[2] J. Baumgartner, Iterated forcing in: Mathias ARD, ed. Surveys in Set Theory. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge University Press; 1-59 (1983).

[3] L. Halbeisen, Combinatorial Set Theory: With a Gentle Introduction to Forcing, Springer (2011).

[4] K. Kunen, Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, Elsevier (1980).

[5] T. Bartoszyński, H. Judah, Set Theory: On the structure of the real line, A. K. Peters (1995).