Metody topologiczne i wariacyjne w nieliniowych równaniach cząstkowych

monograficzne

Ukończony kurs Analizy matematycznej (I i II), Analizy funkcjonalnej oraz Topologii I.

w sali

Celem przedmiotu jest zapoznanie studentów z wybranymi metodami topologicznymi i wariacyjnymi w zastosowaniu do nieliniowych równań eliptycznych. Przypomnimy klasyczne twierdzenie o górskiej przełęczy, a następnie omówimy ogólniejsze twierdzenie o geometrii zapętleń Rabinowitza. Będziemy zainteresowani również wielokrotnością punktów krytycznych i lokalizowaniem ich.

1. Przestrzenie Sobolewa - wprowadzenie. Słabe rozwiązania i funkcjonał wariacyjny.

2. Twierdzenie o przełęczy górskiej:

a. lemat deformacyjny i lemat o przełęczy górskiej,

b. zastosowanie do nieliniowego problemu eliptycznego,

c. symetrie i ich wpływ na zwartość,

d. nierówność Sobolewa, nieliniowości o wzroście krytycznym.

3. Geometria zapętleń:

a. zasada Ekelanda i ogólny lemat deformacyjny,

b. twierdzenie Rabinowitza o punktach siodłowych,

c. zastosowanie do nieliniowego problemu eliptycznego,

d. lokalizowanie punktów krytycznych,

e. nieliniowości o wzroście krytycznym.

4. Twierdzenie o fontannie:

a. deformacje współzmiennicze,

b. wielokrotność punktów krytycznych,

c. nieliniowości wklęsłe i wypukłe, nieliniowości o wzroście krytycznym.

M. Willem: Minimax theorems, Birkhäuser 1997

M. Struwe: Variational methods, Springer-Verlag 2008

M. Badiale, E. Serra: Semilinear Elliptic Equations for Beginners, Springer-Verlag 2011

1. Zna pojęcie przestrzeni Sobolewa H^1, słabej pochodnej i podstawowe ich własności, pojęcie wariacyjnego funkcjonału energii oraz słabych rozwiązań.

2. Zna i potrafi zastosować twierdzenie o przełęczy górskiej do wykazania istnienia punktu krytycznego w sytuacji dodatnio określonej.

3. Zna i potrafi zastosować twierdzenie o punktach siodłowych Rabinowitza do wykazania istnienia punktu krytycznego w sytuacji nieokreślonej.

4. Zna i potrafi wykazać twierdzenie o górskiej przełęczy oraz twierdzenie o geometrii zapętleń.

5. Zna i rozumie znaczenie symetrii (działania grupy) na przestrzeni oraz jej wpływ na zwartość ciągów minimalizujących.

6. Potrafi wykorzystać twierdzenie o fontannie oraz odpowiednie wersje lematu deformacyjnego do wykazania wielokrotności punktów krytycznych.

Egzamin pisemny.