Matematyka

Wykład rozpoczniemy od mówienia podstawowych pojęć matematycznych, takich jak zbiory, liczby, relacje, funkcje. Następnie przejdziemy do omówienia podstawowych funkcji: liniowej, potęgowej i logarytmicznej oraz logarytmów i ich zastosowań. Znacząca część wykładu będzie poświęcona analizie matematycznej. Zdefiniujemy takie pojęcia jak granica (ciągu i funkcji), ciągłość i pochodna funkcji jednej zmiennej. Postaramy się zrozumieć geometryczną i fizyczną interpretację pochodnej. Następnie wprowadzimy pojęcie ekstremum funkcji i nauczymy się je lokalizować opierając się na własności wypukłości (wklęsłości) funkcji.

Część teoretyczną wykładu zakończymy wprowadzeniem pojęcia funkcji pierwotnej, całki nieoznaczonej, a następnie całki oznaczonej i jej interpretacji geometrycznej. Końcowa część wykładu będzie poświęcona modelom matematycznym w naukach przyrodniczych. W tym celu konieczne jest wprowadzenie jeszcze jednego pojęcia - równania różniczkowego, przy czym będzie mowa tylko o najprostszym typie takich równań, tj. o równaniach różniczkowych zwyczajnych. Na tej podstawie przedstawione zostaną modele dynamiki populacji (model Malthusa, równanie logistyczne, konkurencja, drapieżnictwo, mutualizm).

Na koniec - podstawy rachunku prawdopodobieństwa pozwolą na zdefiniowanie łańcuchów Markowa i omówienie na ich podstawie modeli ewolucyjnych.

Wszystkie zagadnienia będą zilustrowane zadaniami w trakcie ćwiczeń.

Wiedza i umiejętności:

1. Rozumie rolę matematyki jako narzędzia pomagającego zrozumieć istotę zjawisk fizycznych, ekonomicznych i biologicznych.
2. Rozumie rolę logiki i rozumowań dedukcyjnych w naukach ścisłych i przyrodniczych. Umie sprawdzić czy dane zdanie logiczne jest tautologią.
3. Zna podstawowe pojęcia matematyczne. Wie co to są zbiory, relacje, liczby naturalne, wymierne, rzeczywiste, zespolone. Zna pojęcie równoliczności zbiorów. Wie co to jest wektor, macierz, przestrzeń wektorowa.
4. Wie jak wyglądają wykresy funkcji elementarnych: potęgowej, wykładniczej, logarytmicznej i funkcji trygonometrycznych oraz co taki wykres oznacza. Umie naszkicować wykresy tych funkcji.
5. Wie co to jest skala logarytmiczna, zna przykłady stosowania takich skal (skala pH, skala Richtera, skala głośności).
6. Wie co to jest ciąg liczbowy, szereg liczbowy. Umie policzyć granicę prostego ciągu, sumę szeregu geometrycznego.
7. Wie co to jest procent prosty, procent składany, stopa nominalna, efektywna, kapitalizacja odsetek. Zna różnicę między spłatą kredytu w ratach równych i w ratach malejących.
8. Wie co to jest funkcja ciągła i czym różni się wykres funkcji ciągłej od wykresu funkcji nieciągłej.
9. Wie co opisuje pochodna funkcji jednej zmiennej, czym jest gradient funkcji wielu zmiennych. Rozumie rolę pochodnej w procesie wyznaczania wartości optymalnych oraz przybliżania wartości funkcji nieliniowych. Zna wzory na wyznaczanie pochodnych funkcji elementarnych.
10. Umie policzyć pochodne funkcji złożonych zbudowanych z funkcji elementarnych. Na podstawie wykresu pochodnej umie wskazać przedziały, na których funkcja rośnie/maleje i punkty, w których funkcja ma minima lub maksima lokalne.
11. Wie co to jest całka nieoznaczona i zna geometryczną interpretację całki oznaczonej. Umie policzyć pole pod wykresem funkcji wielomianowych.
12. Zna kilka podstawowych modeli matematycznych opisujących wzrost populacji i rozumie różnicę między modelami z czasem ciągłym lub dyskretnym.
13. Za pomocą odpowiednich rysunków, umie określić zachowanie rozwiązania jednego równania różnicowego lub różniczkowego.
14. Umie skonstruować i zinterpretować prosty model matematyczny opisujący zmiany zagęszczeń populacji.