Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Analiza matematyczna I.1 (potok I)

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-111bAM1a Kod Erasmus / ISCED: 11.101 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Analiza matematyczna I.1 (potok I)
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty obowiązkowe dla I roku JSIM
Przedmioty obowiązkowe dla I roku matematyki
Przedmioty obowiązkowe dla I roku matematyki specjalności MSEM
Punkty ECTS i inne: 10.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Kierunek podstawowy MISMaP:

fizyka
matematyka

Rodzaj przedmiotu:

obowiązkowe

Skrócony opis:

Przedmiot jest wprowadzeniem w podstawowe pojęcia rachunku różniczkowego jednej zmiennej. Materiał obejmuje

własności liczb rzeczywistych i wymiernych, zasadę indukcji, granice ciągów (w tym twierdzenie Bolzano-

Weierstrassa), szeregi liczbowe (począwszy od podstawowych kryteriów aż do twierdzenia o zbieżności iloczynu

Cauchy’ego szeregów), granice funkcji, ciągłość funkcji i jej konsekwencje (własność Darboux, twierdzenie

Weierstrassa), funkcje wypukłe oraz pojęcie pochodnej.

Pełny opis:

1. Liczby rzeczywiste, kresy zbiorów, aksjomat ciągłości (pewnik Dedekinda). Liczby naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne, zasada indukcji zupełnej i przykłady jej zastosowań.

2. Granica ciągu (w tym granice nieskończone), warunek Cauchy'ego, istnienie granic ciągów monotonicznych. Istnienie pierwiastków. Podstawowe granice (w tym liczba e). Twierdzenie Cesaro-Stolza. Podciągi, Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa o ciągu ograniczonym.

3. Szeregi liczbowe o wyrazach rzeczywistych i zespolonych, pojęcie szeregu zbieżnego. Szereg geometryczny i rozwijanie liczb rzeczywistych przy różnych podstawach. Warunek Cauchy'ego dla szeregów. Szeregi o wyrazach dodatnich, kryterium porównawcze, kryterium Cauchy'ego o zagęszczaniu, kryterium ilorazowe d'Alemberta, kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego. Szeregi o wyrazach dowolnych - zależność sumy szeregu od kolejności wyrazów. Szeregi naprzemienne - kryterium Leibniza. Szeregi bezwzględnie zbieżne. Kryteria Abela i Dirichleta. Twierdzenia o zbieżności iloczynu Cauchy'ego dwóch szeregów. Niewymierność liczby e.

4. Granica funkcji w punkcie, ciągłość funkcji (warunki Heinego i Cauchy'ego), własność Darboux. Ciągłość funkcji odwrotnej. Twierdzenie Weierstrassa o przyjmowaniu kresów. Jednostajna ciągłość funkcji ciągłej na przedziale

domkniętym. Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna, funkcje trygonometryczne i cyklometryczne.

5. Funkcje wypukłe, interpretacja geometryczna. Nierówność Jensena i wynikające z niej klasyczne nierówności (Cauchy'ego o średnich, Schwarza). Pochodna i jej interpretacje, styczna do wykresu funkcji. Charakteryzacja

wypukłości funkcji w terminach ilorazów różnicowych i pierwszej pochodnej.

Literatura:

1. A. Birkholc, Analiza matematyczna dla nauczycieli. PWN, Warszawa 1977.

2. B. P. Demidowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Naukowa Książka, Lublin 1992 (t. I) i 1993 (t. II i III).

3. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom 1-2, PWN, Warszawa 2007.

4. W. Kaczor, M. Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej 1. Liczby rzeczywiste, ciągi i szeregi liczbowe, PWN,

Warszawa 2005.

5. K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1979.

6. W. Pusz, A. Strasburger, Zbiór zadań z analizy matematycznej Wydział Fizyki UW, Warszawa 1982.

7. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 2000.

8. P. Strzelecki, Analiza Matematyczna I (skrypt wykładu),

http://dydmat.mimuw.edu.pl/sites/default/files/wyklady/analiza-matematyczna-i.pdf

Dodatek do skryptu (aut. M. Jóźwikowski, S. Kolasiński),

http://dydmat.mimuw.edu.pl/sites/default/files/wyklady/analiza-matematyczna-i-zadania.pdf

Efekty kształcenia:

Student:

1. Podaje przykłady liczb niewymiernych i zna dowody ich niewymierności. Potrafi wyznaczać kresy podzbiorów ciała liczb rzeczywistych. Posługuje się metodą indukcji zupełnej.

2. Zna pojęcie granicy ciągu liczb rzeczywistych i zespolonych, zna jego arytmetyczne własności, a także twierdzenie Bolzano-Weierstrassa i warunek Cauchy'ego. Rozpoznaje i określa najważniejsze własności ciągów liczb rzeczywistych danych wzorem jawnym lub rekurencyjnym: monotoniczność, ograniczoność, zbieżność całego ciągu lub jego podciągów.

3. Potrafi wskazać metodę definiowania funkcji wykładniczej oraz funkcji trygonometrycznych na zbiorze liczb rzeczywistych; zna podstawowe własności tych funkcji.

4. Zna pojęcie sumy szeregu zbieżnego oraz najważniejsze własności szeregów zbieżnych bezwzględnie i warunkowo. Bada zbieżność szeregów, posługując się kilkoma kryteriami zbieżności; potrafi odróżnić zbieżność bezwzględną od warunkowej.

5. Zna pojęcie granicy funkcji zmiennej rzeczywistej i jego równoważne definicje. Potrafi analizować istnienie granicy funkcji elementarnej zmiennej rzeczywistej i obliczyć tę granicę.

6. Zna podstawowe własności funkcji ciągłych zmiennej rzeczywistej, w tym własność Darboux, twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów i twierdzenie o jednostajnej ciągłości na przedziałach domkniętych. Potrafi analizować

ciągłość i jednostajną ciągłość funkcji określonych na różnych przedziałach osi rzeczywistej. Wykorzystuje własności funkcji ciągłych w zadaniach o charakterze jakościowym, m.in. własność Darboux w dowodach istnienia rozwiązań konkretnych równań.

7. Zna pojęcie funkcji wypukłej, nierówność Jensena i najważniejsze przykłady jej zastosowań, w tym do dowodów nierówności.

8. Zna definicję pochodnej oraz geometryczne i fizyczne interpretacje tego pojęcia.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2018/19" (zakończony)

Okres: 2018-10-01 - 2019-01-25
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 60 godzin więcej informacji
Wykład, 60 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Marcin Bobieński, Piotr Mormul
Prowadzący grup: Marcin Bobieński, Tomasz Kochanek, Marcin Kotowski, Michał Kotowski, Marcin Kuczma, Witold Marciszewski, Piotr Mormul, Marcin Moszyński, Marta Strzelecka, Michał Strzelecki, Bartosz Wcisło
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Zaliczenie na ocenę

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2019/20" (w trakcie)

Okres: 2019-10-01 - 2020-01-27
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 60 godzin więcej informacji
Wykład, 60 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Marek Bodnar, Paweł Goldstein
Prowadzący grup: Marek Bodnar, Paweł Goldstein, Michał Jóźwikowski, Agnieszka Kałamajska, Leszek Kołodziejczyk, Marcin Kuczma, Marcin Moszyński, Piotr Nayar, Mikołaj Rotkiewicz, Marta Strzelecka, Henryk Żołądek
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Zaliczenie na ocenę
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.