Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Geometria z algebrą liniową I (potok I)

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-111bGA1a Kod Erasmus / ISCED: 11.101 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Geometria z algebrą liniową I (potok I)
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty obowiązkowe dla I roku JSIM
Przedmioty obowiązkowe dla I roku matematyki
Punkty ECTS i inne: 8.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Rodzaj przedmiotu:

obowiązkowe

Skrócony opis:

Wykład GAL I poświęcony jest rozwiązywaniu układów równań liniowych nad ciałem. Omówiona będzie definicja ciała i jego podstawowe własności. Skupimy się na badaniu ciała liczb rzeczywistych i zespolonych. Pokażemy jak opisywać zbiory rozwiązań wprowadzając na nich strukturę przestrzeni liniowej. Podstawowym narzędziem będą macierze opisujące zarówno układy równań jak i przekształcenia liniowe.

Pełny opis:

1. Układy równań liniowych. Rozwiązanie ogólne. Macierze. Operacje elementarne na wierszach macierzy. Postać schodkowa zredukowana. Zastosowanie do rozwiązywania układów równań. (1 wykład).

2. Ciała. Ciało liczb zespolonych. Postać trygonometryczna liczb zespolonych. Pierwiastki wielomianów. Zasadnicze twierdzenie algebry (bez dowodu). Pierwiastki z jedynki. Ciała Z_p. (2 wykłady).

3. Przestrzenie liniowe. Podprzestrzenie. Kombinacje liniowe, przestrzenie rozpięte na układach wektorów. Układy liniowo niezależne. Twierdzenie Steinitza o wymianie. Bazy. Istnienie baz. Wymiar przestrzeni liniowej. Współrzędne wektora w bazie. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capelliego. Opisywanie podprzestrzeni układami równań liniowych. Iloczyn i suma podprzestrzeni, wymiar sumy podprzestrzeni. Wewnętrzna suma prosta. (4 wykłady).

4. Przekształcenia liniowe. Działania na przekształceniach liniowych (dodawanie, mnożenie przez skalar, składanie), przestrzeń przekształceń liniowych L(V, W). Homotetie, rzuty i symetrie równoległe. Zadawanie przekształcenia przez wartości na bazie. Jądro i obraz przekształcenia. Monomorfizmy, epimorfizmy, izomorfizmy. Każda n-wymiarowa przestrzeń liniowa nad K jest izomorficzna z K^n. Wymiar przestrzeni w zależności od wymiaru jądra i obrazu przekształcenia liniowego. Macierz przekształcenia liniowego. Algebra macierzy. Macierze odwracalne. Funkcjonały (formy) liniowe, przestrzenie sprzężone (dualne). Bazy sprzężone, współrzędne funkcjonału w bazie sprzężonej, izomorfizm skończenie wymiarowej przestrzeni w przestrzeń sprzężoną. Przekształcenia sprzężone, ich macierze w bazach sprzężonych. (5 wykładów).

5. Wyznaczniki. Własności wyznaczników. Obliczanie za pomocą operacji elementarnych. Rozwinięcia Laplace'a. Twierdzenie Cauchy'ego o mnożeniu wyznaczników. Zastosowania wyznaczników, związki z rzędem i z odwracalnością macierzy. Wzory Cramera na rozwiązanie układu n równań liniowych z n niewiadomymi. Wzór permutacyjny na wyznacznik. (3 wykłady).

Literatura:

G. Banaszak, W. Gajda, Elementy algebry liniowej

A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią

T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1 i 2.

T. Koźniewski, Wykłady z algebry liniowej

M. Moszyńska, J. Święcicka, Geometria z algebrą liniową

K. Sieklucki, Geometria i topologia.

Efekty kształcenia:

1. Zna pojęcie układu równań liniowych i jego rozwiązania a także pojęcie macierzy układu równań i operacji elementarnych na macierzach. Potrafi rozwiązywać układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa.

2. Zna definicję ciała i podstawowe przykłady ciał w tym ciała liczb zespolonych wraz z ich interpretacją geometryczną. Potrafi znajdować postać trygonometryczną liczb zespolonych i używać jej do potęgowania liczb zespolonych.

3. Zna pojęcie przestrzeni liniowej i przykłady przestrzeni liniowych. Potrafi sprawdzić, czy dany podzbiór przestrzeni liniowej jest jej podprzestrzenią.

4. Rozumie pojęcie liniowej (nie)zależności układu wektorów oraz pojęcia bazy i wymiaru przestrzeni liniowej. Zna podstawowe własności baz. Umie znajdować bazy skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych zadanych na różne sposoby. Potrafi opisywać podprzestrzenie przestrzeni K^n układami równań liniowych.

5. Rozumie pojęcia sumy algebraicznej podprzestrzeni przestrzeni liniowej i rozkładu przestrzeni na sumę prostą podprzestrzeni. Potrafi stosować wzór na wymiar sumy algebraicznej podprzestrzeni. Umie sprawdzać czy przestrzeń jest sumą prostą jej danych podprzestrzeni.

6. Zna definicję przekształcenia liniowego z przykładami. Potrafi znajdować wzór na przekształcenie liniowe zadane przez podanie jego wartości na bazie.

7. Zna pojęcia obrazu i jądra przekształcenia liniowego oraz pojęcia monomorfizmu, epimorfizmu i izomorfizmu. Umie stosować wzór łączący wymiary obrazu, jądra i dziedziny przekształcenia. Potrafi badać czy przekształcenie jest monomorfizmem, epimorfizmem, izomorfizmem.

8. Zna działania na macierzach (dodawanie, mnożenie) i ich własnośći. Zna pojęcie macierzy odwrotnej i odwracalnej. Umie sprawdzić, czy dana macierz jest odwracalna, jeśli tak, to znaleźć jej macierz odwrotną.

9. Rozumie pojęcie macierzy przekształcenia liniowego, wie jak zmienia się ona przy zmianie baz. Umie znajdować macierz przekształcenia liniowego w zadanych bazach i zna jej zastosowania.

10. Zna pojęcia funkcjonału liniowego i przestrzeni sprzężonej. Potrafi znajdować współrzędne funkcjonału w bazie sprzężonej.

11. Zna pojęcie rzędu macierzy i jego związek z rzędem przekształcenia liniowego. Umie stosować rząd w badaniu rozwiązalności układów równań liniowych i w sprawdzaniu odwracalności macierzy.

12. Zna indukcyjną definicję wyznacznika oraz podstawowe twierdzenia o wyznacznikach. Umie stosować wyznaczniki do badania rzędu macierzy, znajdowania macierzy odwrotnej i rozwiązywania układu równań liniowych. Potrafi podać geometryczną interpretację wyznacznika macierzy rzeczywistej oraz permutacyjny wzór na wyznacznik.

Metody i kryteria oceniania:

Ocena z przedmiotu będzie wystawiona w oparciu o punkty, które będzie można uzyskać w następujący sposób:

a) 200 punktów za kolokwia - będą dwa kolokwia w semestrze (wspólne dla obu potoków) po 100 punktów każde.

b) 60 punktów za ćwiczenia, w tym co najmniej 40 tych punktów jest zarezerwowane (w proporcji do liczby poprawnych rozwiązań) za pisemne zadania domowe. Powinno być 10 serii pisemnych prac domowych (co najwyżej 5 zadań w każdej).

Do zaliczenie potrzeba 50 % możliwych do zdobycia punktów (tj. 130, być może nieco mniej).

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2018/19" (zakończony)

Okres: 2018-10-01 - 2019-01-25
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 60 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Sławomir Nowak, Krzysztof Ziemiański
Prowadzący grup: Stanisław Betley, Agnieszka Bodzenta-Skibińska, Agnieszka Bojanowska-Jackowska, Weronika Buczyńska, Michał Korch, Tadeusz Koźniewski, Arkadiusz Męcel, Jacek Micał, Sławomir Nowak, Konrad Pióro, Andrzej Strojnowski, Krzysztof Ziemiański
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Zaliczenie na ocenę
Wykład - Zaliczenie na ocenę

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2019/20" (w trakcie)

Okres: 2019-10-01 - 2020-01-27
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 60 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Arkadiusz Męcel, Krzysztof Ziemiański
Prowadzący grup: Agnieszka Bodzenta-Skibińska, Jakub Koncki, Michał Korch, Tadeusz Koźniewski, Adrian Langer, Arkadiusz Męcel, Sławomir Nowak, Krzysztof Ziemiański
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Zaliczenie na ocenę
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.