Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Analiza matematyczna I.2*

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-112bAM2* Kod Erasmus / ISCED: 11.101 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Analiza matematyczna I.2*
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty obowiązkowe dla I roku JSEM
Przedmioty obowiązkowe dla I roku JSIM
Przedmioty obowiązkowe dla I roku matematyki
Punkty ECTS i inne: 11.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Kierunek podstawowy MISMaP:

fizyka
matematyka

Rodzaj przedmiotu:

obowiązkowe

Pełny opis:

Program taki jak w potokach I i II, ale przedstawiony w sposób bardziej pogłębiony.

Technika różniczkowania (pochodna sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu), pochodna złożenia funkcji i pochodna funkcji odwrotnej. Twierdzenia o wartości średniej (Rolle'a, Lagrange'a i Cauchy'ego). Kryteria monotoniczności funkcji różniczkowalnych. Reguła de l'Hospitala. Ekstrema lokalne. Pochodne drugiego i wyższych rzędów, wzór Taylora z resztą w postaci Peano, Lagrange'a i Cauchy'ego. Wielomiany Taylora funkcji wykładniczej, logarytmu, sinusa, kosinusa, arkusa sinusa i arkusa tangensa. Punkty przegięcia. Warunek dostateczny na istnienie ekstremum lokalnego lub punktu przegięcia. Funkcje klasy C^k. (7-9 wykładów)

Ciąg funkcyjny i szereg funkcyjny. Zbieżność punktowa i zbieżność jednostajna ciągu i szeregu funkcyjnego. Jednostajny warunek Cauchy'ego, kryterium Weierstrassa jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego. Twierdzenie o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych. Różniczkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych, twierdzenie Weierstrassa o jednostajnym przybliżaniu funkcji ciągłych wielomianami (np. wielomiany Bernsteina). (5-6 wykładów).

Szereg potęgowy, promień zbieżności i przedział zbieżności. Zbieżność jednostajna i bezwzględna szeregu potęgowego. Twierdzenie Abela o ciągłości szeregu potęgowego w końcu przedziału. Rozwinięcia funkcji elementarnych. (3-4 wykłady).

Całka nieoznaczona (funkcja pierwotna) i całka oznaczona funkcji ciągłej. Całkowanie przez podstawienie i przez części. Reszta całkowa we wzorze Taylora. Całkowanie funkcji wymiernych (ułamki proste). Sumy Riemanna, aproksymacja całki z funkcji ciągłej sumami Riemanna. Całkowalność w sensie Riemanna funkcji ciągłej. Interpretacja geometryczna. Długość wykresu funkcji jako kres górny długości łamanych wpisanych w ten wykres, wzór całkowy na długość wykresu funkcji klasy C^1. Całki z parametrem i rózniczkowanie całek z parametrem. Gamma-funkcja Eulera, wzory Wallisa i Stirlinga. Przykładowe zastosowania rachunku całkowego, np. obliczanie pól i objętości brył obrotowych, niewymierność liczby e. (9-11 wykładów wykładów).

Uwaga: układ materiału podczas semestru może podlegać drobnym modyfikacjom.

Literatura:

A. Birkholc, Analiza matematyczna dla nauczycieli, PWN, Warszawa 1977

B. P. Demidowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Naukowa Książka, Lublin 1992 (tom I) i 1993 (tomy II i III).

G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, tom. II i III, PWN, Warszawa 1999.

K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1979.

W. Pusz, K. Strasburger, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Wydział Fizyki UW, Warszawa 1982.

W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 2000.

Efekty kształcenia:

0. Potrafi uzasadnić poprawność swoich rozumowań. Operuje przykładami.

1. Zna metody obliczania pochodnych i najważniejsze twierdzenia rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, w tym twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej, wzór Taylora i regułę de l'Hospitala. Stosuje typowe narzędzia rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej, m.in. wyznacza ekstrema lokalne, przedziały monotoniczności i wypukłości oraz kresy funkcji zmiennej rzeczywistej, a także rozwiązuje zadania optymalizacyjne. Posługuje się wzorem Taylora do obliczania granic.

2. Zna pojęcie zbieżności punktowej i jednostajnej ciągu i szeregu funkcyjnego, kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej, twierdzenie o ciągłości granicy zbieżnego jednostajnie ciągu / szeregu funkcji ciągłych i twierdzenie o różniczkowaniu ciągów funkcyjnych. Potrafi badać zbieżność jednostajną ciągów funkcyjnych i dowodzić ciągłości lub różniczkowalności granic takich ciągów.

3. Zna pojęcie szeregu potęgowego i najważniejsze własności funkcyjne sumy takiego szeregu. Zna wzór Cauchy'ego-Hadamarda. Określa promień zbieżności szeregu potęgowego; potrafi wykorzystać twierdzenie o różniczkowalności szeregów funkcyjnych do sumowania konkretnych szeregów.

4. Zna pojęcie funkcji pierwotnej i całki nieoznaczonej; potrafi całkować przez części i przez podstawienie; orientuje się, jakie klasy funkcji są całkowalne w kwadraturach takimi metodami.

5. Zna pojęcie całki oznaczonej, definicję całki Riemanna i jej interpretację geometryczną. Zna związek całki oznaczonej z nieoznaczoną. Stosuje narzędzia rachunku całkowego w zadaniach o charakterze geometrycznym. Oblicza pole pod wykresem, długość krzywej, objętości i pola powierzchni brył obrotowych.

6. Zna pojęcie całki niewłaściwej oraz przykłady funkcji, zdefiniowanych za pomocą takich całek. Wykorzystując różne metody, bada zbieżność całek niewłaściwych.

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2018/19" (zakończony)

Okres: 2019-02-16 - 2019-06-08
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 60 godzin więcej informacji
Wykład, 60 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Marcin Bobieński
Prowadzący grup: Marcin Bobieński, Piotr Nayar, Witold Szczechla
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2019/20" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2020-02-17 - 2020-06-10
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 60 godzin więcej informacji
Wykład, 60 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Paweł Goldstein
Prowadzący grup: Paweł Goldstein, Marcin Kuczma
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.