Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Analiza matematyczna I.2 (potok I)

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-112bAM2a Kod Erasmus / ISCED: 11.1 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Analiza matematyczna I.2 (potok I)
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty obowiązkowe dla I roku JSIM
Przedmioty obowiązkowe dla I roku matematyki
Przedmioty obowiązkowe dla I roku matematyki specjalności MSEM
Punkty ECTS i inne: 10.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Kierunek podstawowy MISMaP:

fizyka
matematyka

Rodzaj przedmiotu:

obowiązkowe

Skrócony opis:

Przedmiot jest kontynuacją wykładu z Analizy Matematycznej I.1. Materiał obejmuje rachunek różniczkowy i całkowy jednej zmiennej: od pojęcia pochodnej i jego zastosowań (reguła de l’Hospitala, wielomiany Taylora), poprzez teorię ciągów i szeregów funkcyjnych (kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej, twierdzenie Arzeli-Ascoliego), własności szeregów potęgowych, po teorię całki Riemanna, własności całek niewłaściwych i ich zastosowania (obliczanie długości krzywych klasy C1, funkcja Γ, wzór Wallisa).

Pełny opis:

1. Algebraiczne własności różniczkowania (pochodna sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu), pochodna złożenia funkcji i pochodna funkcji odwrotnej. Twierdzenia o wartości średniej (Rolle'a, Lagrange'a i Cauchy'ego). Kryteria monotoniczności funkcji różniczkowalnych. Reguła de l'Hospitala. Ekstrema lokalne. Pochodne drugiego i wyższych rzędów, wzór Taylora z resztą w postaci Peano, Lagrange'a i Cauchy'ego. Wielomiany Taylora funkcji wykładniczej, logarytmu, sinusa, kosinusa, arcus sinusa i arcus tangensa. Punkty przegięcia. Warunek dostateczny na istnienie ekstremum lokalnego lub punktu przegięcia. Funkcje klasy Ck.

2. Ciąg funkcyjny i szereg funkcyjny. Zbieżność punktowa i zbieżność jednostajna ciągu i szeregu funkcyjnego. Jednostajny warunek Cauchy'ego, kryterium Weierstrassa jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego. Twierdzenie o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych. Różniczkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych, twierdzenie Weierstrassa o jednostajnym przybliżaniu funkcji ciągłych wielomianami (np. wielomiany Bernsteina). Twierdzenie Arzeli-Ascoliego. Przykład funkcji ciągłych nigdzie nieróżniczkowalnych.

3. Szereg potęgowy, promień zbieżności (wzór Cauchy’ego-Hadamarda) i przedział zbieżności. Zbieżność jednostajna i bezwzględna szeregu potęgowego. Twierdzenie Abela o ciągłości szeregu potęgowego w końcu przedziału. Rozwinięcia funkcji elementarnych.

4. Całka nieoznaczona (funkcja pierwotna) i całka oznaczona funkcji ciągłej. Całkowanie przez podstawienie i przez części. Reszta całkowa we wzorze Taylora. Całkowanie funkcji wymiernych (ułamki proste), wyrażeń trygonometrycznych i wyrażeń z pierwiastkami kwadratowymi. Sumy Riemanna, aproksymacja całki z funkcji ciągłej sumami Riemanna. Całkowalność w sensie Riemanna funkcji ciągłej i interpretacja geometryczna całki. Długość wykresu funkcji jako kres górny długości łamanych wpisanych w ten wykres. Płaskie krzywe parametryczne i wektory styczne do nich, wzór całkowy na długość wykresu funkcji klasy C1 , długość krzywej parametrycznej. Całki niewłaściwe i kryteria ich zbieżności, kryterium całkowe zbieżności szeregu liczbowego. Całki z parametrem i różniczkowanie całki względem parametru w granicach całkowania. Całka Riemanna a zbieżność jednostajna. Funkcja Γ Eulera, wzory Wallisa i Stirlinga. Przykładowe zastosowania rachunku całkowego, np. obliczanie pól i objętości brył obrotowych.

Literatura:

1. A. Birkholc, Analiza matematyczna dla nauczycieli, PWN, Warszawa 1977.

2. B. P. Demidowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Naukowa Książka, Lublin 1992 (tom I) i 1993 (tomy II i III).

3. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom 2-3, PWN, Warszawa 2007.

4. W. Kaczor, M. Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej 2. Funkcje jednej zmiennej - rachunek różniczkowy, PWN, Warszawa 2005.

5. K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1979.

6. W. Pusz, K. Strasburger, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Wydział Fizyki UW, Warszawa 1982.

7. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 2000.

8. P. Strzelecki, Analiza Matematyczna I (skrypt wykładu), http://dydmat.mimuw.edu.pl/sites/default/files/wyklady/analiza-matematyczna-i.pdf

Dodatek do skryptu (aut. M. Jóźwikowski, S. Kolasiński), http://dydmat.mimuw.edu.pl/sites/default/files/wyklady/analiza-matematyczna-i-zadania.pdf

Efekty kształcenia:

Student:

1. Potrafi uzasadnić poprawność swoich rozumowań. Operuje przykładami.

2. Zna metody obliczania pochodnych i najważniejsze twierdzenia rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, w tym twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej, wzór Taylora i regułę de l'Hospitala. Stosuje typowe narzędzia rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej, m.in. wyznacza ekstrema lokalne, przedziały monotoniczności i wypukłości oraz kresy funkcji zmiennej rzeczywistej, a także rozwiązuje zadania optymalizacyjne w oparciu o badania ekstremów. Posługuje się wzorem Taylora do obliczania granic.

3. Zna pojęcie zbieżności punktowej i jednostajnej ciągu i szeregu funkcyjnego, kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej, twierdzenie o ciągłości granicy zbieżnego jednostajnie ciągu/szeregu funkcji ciągłych i twierdzenie o różniczkowaniu ciągów funkcyjnych. Potrafi badać zbieżność jednostajną ciągów funkcyjnych i dowodzić ciągłości lub różniczkowalności granic takich ciągów.

4. Zna pojęcie szeregu potęgowego i najważniejsze własności funkcyjne sumy takiego szeregu. Zna wzór Cauchy'ego-Hadamarda. Określa promień zbieżności szeregu potęgowego; potrafi wykorzystać twierdzenie o różniczkowalności szeregów funkcyjnych do sumowania konkretnych szeregów.

5. Zna pojęcie funkcji pierwotnej i całki nieoznaczonej; potrafi całkować przez części i przez podstawienie.

6. Zna pojęcie całki oznaczonej, definicję całki Riemanna i jej interpretację geometryczną. Zna związek całki oznaczonej z nieoznaczoną. Stosuje narzędzia rachunku całkowego w zadaniach o charakterze geometrycznym. Oblicza pole pod wykresem oraz długość krzywej.

7. Zna pojęcie całki niewłaściwej oraz przykłady funkcji, zdefiniowanych za pomocą takich całek. Wykorzystując różne metody bada zbieżność całek niewłaściwych.

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2018/19" (zakończony)

Okres: 2019-02-16 - 2019-06-08
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 60 godzin więcej informacji
Wykład, 60 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Piotr Mormul
Prowadzący grup: Tomasz Kochanek, Mikołaj Krupski, Marcin Kuczma, Piotr Mormul, Marcin Moszyński, Mikołaj Rotkiewicz, Witold Szczechla, Bartosz Wcisło
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2019/20" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2020-02-17 - 2020-06-10
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 60 godzin więcej informacji
Wykład, 60 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Marek Bodnar
Prowadzący grup: Marek Bodnar, Leszek Kołodziejczyk, Marcin Kuczma, Michał Strzelecki, Henryk Żołądek
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin
Wymagania (lista przedmiotów):

Analiza matematyczna I.1 (potok I) 1000-111bAM1a

Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.