Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Geometria z algebrą liniową II (potok I)

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-112bGA2a Kod Erasmus / ISCED: 11.101 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Geometria z algebrą liniową II (potok I)
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty obowiązkowe dla I roku JSIM
Przedmioty obowiązkowe dla I roku matematyki
Punkty ECTS i inne: 10.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Rodzaj przedmiotu:

obowiązkowe

Pełny opis:

1. Endomorfizmy przestrzeni liniowych. Macierz endomorfizmu w bazie, zależność od bazy, macierze podobne (B = C^(-1)AC). Wyznacznik i ślad endomorfizmu. Wektory, podprzestrzenie i wartości własne. Wielomian charakterystyczny. Macierze diagonalne, endomorfizmy i macierze diagonalizowalne, kryteria diagonalizowalności. Twierdzenie Jordana o postaci kanonicznej macierzy endomorfizmu (bez dowodu). (5 wykładów).

2. Przestrzenie afiniczne w przestrzeniach liniowych - warstwy podprzestrzeni liniowych. Kombinacje afiniczne. Układy afinicznie niezależne, bazy punktowe. Współrzędne w bazie punktowej. Układy bazowe przestrzeni afinicznych (punkt i baza przestrzeni stycznej), parametryzacje. Przekształcenia afiniczne, odpowiadające im przekształcenia liniowe. Macierze przekształceń afinicznych (w układach bazowych). Izomorfizmy przestrzeni afinicznych. Każda n-wymiarowa przestrzeń afiniczna nad K jest izomorficzna z przestrzenią afiniczną K^n. Aksjomatyczna definicja przestrzeni afinicznej. (4 wykłady).

3. Iloczyny skalarne. Nierówność Schwarza. Przestrzenie euklidesowe liniowe. Dopełnienie prostopadłe podprzestrzeni. Rzuty i symetrie prostopadłe. Bazy prostopadłe (ortogonalne) i ortonormalne, współrzędne wektora w takich bazach. Ortogonalizacja Grama-Schmidta. Kryterium Sylvestera dodatniej określoności. Macierz Grama i jej własności (4 wykłady).

4. Przestrzenie euklidesowe afiniczne. Odległość punktów w przestrzeniach euklidesowych, odległość punktu od podprzestrzeni. Miary w przestrzeniach euklidesowych, objętości równoległościanów i sympleksów. Kąty. Orientacja. Iloczyn wektorowy. (2 wykłady).

5. Przekształcenia przestrzeni euklidesowych zachowujące iloczyn skalarny, izomorfizmy przestrzeni euklidesowych. Macierze ortogonalne. Izometrie. Przekształcenia samosprzężone. Diagonalizacja symetrycznych macierzy rzeczywistych za pomocą macierzy ortogonalnych. (4 wykłady).

6. Iloczyny hermitowskie. Izomorfizmy przestrzeni z formą hermitowską, macierze unitarne. (1 wykład).

7. Formy dwuliniowe, formy symetryczne. Macierz formy dwuliniowej w bazie, zależność od bazy, kongruencja macierzy (B = C^T AC, dla odwracalnej macierzy C). Formy nieosobliwe. Dopełnienie otrogonalne podprzestrzeni z formą nieosobliwą. Bazy prostopadłe. Każda skończenie wymiarowa przestrzeń z formą dwuliniową symetryczną nad ciałem charakterystyki różnej od 2 ma bazę prostopałą. Twierdzenie Sylvestera o bezwładności. Klasy kongruencji macierzy symetrycznych nad R i C. Formy kwadratowe i metody ich diagonalizacji. (4 wykłady).

8. Wielomiany i funkcje wielomianowe n zmiennych. Funkcje wielomianowe na przestrzeniach afinicznych. Zbiory algebraiczne, hiperpowierzchnie, stopień hiperpowierzchni. Hiperpowierzchnie afinicznie izomorficzne. Nad ciałem nieskończonym K charakterystyki różnej od 2, każdą hiperpowierzchnię stopnia 2 w K^n można opisać, w pewnym układzie bazowym, równaniem odpowiedniej postaci z r lub r+1 zmiennymi dla r<n. Klasyfikacja afiniczna hiperpowierzchni stopnia 2 w C^n i w R^n. Opis przypadków R^2 i R^3. Klasyfikacja izometryczna hiperpowierzchni stopnia 2 w R^n (bez dowodu) (5 wykładów).

Literatura:

G. Banaszak, W. Gajda, Elementy algebry liniowej

A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią

T. Koźniewski, Wykłady z algebry liniowej

M. Moszyńska, J. Święcicka, Geometria z algebrą liniową

K. Sieklucki, Geometria i topologia

Efekty kształcenia:

1. Zna pojęcie wielomianu charakterystycznego macierzy i endomorfizmu, Umie znaleźć wartości własne endomorfizmu i opisać wektory własne. Umie znaleźć postać Jordana macierzy małych rozmiarów.

2. Zna pojęcie macierzy podobnych i umie w prostych przypadkach rozstrzygnąć czy macierze są podobne.

3. Zna pojęcia przestrzeni afinicznej i przekształcenia afinicznego. Zna pojęcie bazy punktowej i umie wyliczać współrzędne barycentryczne punktu.

4. Wie co to są formy dwuliniowe. Umie zbadać kiedy są symetryczne antysymetryczne lub nieosobliwe. Potrafi opisać formę macierzą w zadanej bazie. Potrafi znaleźć bazę prostopadłą. Potrafi rozstrzygnąć czy macierze Grama są kongruentne nad ciałami R i C.

5. Zna pojęcie iloczynu skalarnego. Umie zbadać, kiedy forma dwuliniowa jest iloczynem skalarnym. Zna własności normy wektora.

6. Umie obliczać miary równoległościanów i sympleksów w przestrzeniach euklidesowych afinicznych. Umie obliczać odległości między podprzestrzeniami.

7. Zna pojęcie izometrii liniowej i afinicznej. Umie opisać izometrie zachowujące dany zbiór podprzestrzeni.

8. Wie co to są przekształcenia samosprzężone. Umie zdiagonalizować macierz symetryczną nad R.

9. Wie co to są zbiory algebraiczne. Potrafi wielomian opisujący zbiór algebraiczny doprowadzić do postaci kanonicznej. Zna klasyfikację afiniczną hiperpowierzchni stopnia 2 w C^n i w R^n.

Metody i kryteria oceniania:

Ocena z przedmiotu będzie wystawiona w oparciu o punkty, które będzie można uzyskać  w następujący sposób:

a)  200  punktów  za kolokwia - będą dwa kolokwia w semestrze po 100 punktów każde.

b)  60  punktów  za  ćwiczenia,  w  tym  najmniej 40 tych punktów jest zarezerwowane  (w proporcji do liczby poprawnych rozwiązań) za pisemne zadania  domowe.  Powinno  być  10  serii  pisemnych prac domowych (co najwyżej  5  zadań  w każdej).

c)  200  punktów  za  egzamin  pisemny.

 Osoby, które łącznie uzyskają wymagany  próg  punktowy (50 % możliwych do zdobycia punktów, być może nieco  mniej)  będą  dopuszczone do obowiązkowego egzaminu ustnego, po którym  wystawiona  zostanie  ocena.  

W trybie poprawkowym we wrześniu odbędzie  się  egzamin  pisemny  i  ustny,  z  tym  ze punkty będą się sumowały  jak  pierwszym terminie (tzn. punkty z kolokwiów i ćwiczeń w dalszym ciągu będą się liczyły).

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2018/19" (zakończony)

Okres: 2019-02-16 - 2019-06-08
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 60 godzin więcej informacji
Wykład, 60 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Sławomir Nowak
Prowadzący grup: Stanisław Betley, Agnieszka Bodzenta-Skibińska, Weronika Buczyńska, Michał Korch, Tadeusz Koźniewski, Sławomir Nowak, Elżbieta Pol
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2019/20" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2020-02-17 - 2020-06-10
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 60 godzin więcej informacji
Wykład, 60 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Arkadiusz Męcel
Prowadzący grup: Stanisław Betley, Tadeusz Koźniewski, Arkadiusz Męcel, Elżbieta Pol
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin
Wymagania (lista przedmiotów):

Geometria z algebrą liniową I (potok I) 1000-111bGA1a

Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.