Wstęp do teorii mnogości

obowiązkowe

Zajęcia realizowane w ramach projektu „Zintegrowany Program Rozwoju Dydaktyki – ZIP 2.0”, współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego – Program Fundusze Europejskie dla Rozwoju Społecznego 2021-2027 (FERS) (nr umowy: FERS.01.05-IP.08-0365/23-00).

Przedmiot stanowi kontynuację przedmiotu Wstęp do Matematyki, w której pojęcia wprowadzone wcześniej zostają bardziej formalnie i precyzyjnie wprowadzone na gruncie teorii mnogości i jej aksjomatów, ukazując jej rolę we współczesnej matematyce. Pojęcia te zostaną zilustrowane bardziej abstrakcyjnymi przykładami. Ponadto omówione zostaną takie zagadnienia jak teoria równoliczności, relacje równoważności i teoria częściowych porządków.

Zajęcia realizowane w ramach projektu „Zintegrowany Program Rozwoju Dydaktyki – ZIP 2.0”, współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego – Program Fundusze Europejskie dla Rozwoju Społecznego 2021-2027 (FERS) (nr umowy: FERS.01.05-IP.08-0365/23-00).

Rola teorii mnogości w matematyce. Antynomia Russella. Wzmianka o aksjomatach. Suma i iloczyn (przecięcie) rodziny zbiorów.

Definicje oparte na pojęciu zbioru: para uporządkowana, funkcja, indeksowane rodziny zbiorów. Sumy i iloczyny indeksowanych rodzin zbiorów. Działania wielokrotne, związki z kwantyfikatorami.

Iloczyn kartezjański indeksowanej rodziny zbiorów, aksjomat wyboru. Obrazy i przeciwobrazy indeksowanych sum i przecięć.

Zbiór liczb naturalnych jako najmniejszy zbiór induktywny. Twierdzenie o definiowaniu przez indukcję. Wzmianka o aksjomatach Peano.

Równoliczność zbiorów. Elementy ogólnej teorii równoliczności.

Zbiory skończone, przeliczalne, co najwyżej przeliczalne. Własności zbiorów (co najwyżej) przeliczalnych, w szczególności dotyczące ich obrazów, sum i iloczynów kartezjańskich.

Dowodzenie nieprzeliczalności zbiorów. Metoda przekątniowa. Twierdzenie Cantora. Porównywanie mocy zbiorów, twierdzenie Cantora-Bernsteina.

Zbiory mocy continuum, wzmianka o hipotezie continuum. Ważne przykłady zbiorów mocy continuum, równoliczności zbioru liczb rzeczywistych ze zbiorem potęgowym zbioru liczb naturalnych oraz zbiorem wszystkich nieskończonych ciągów o wyrazach naturalnych. Własności zbiorów mocy (co najwyżej) continuum, w szczególności dotyczące ich obrazów, sum i iloczynów kartezjańskich.

Własności relacji: zwrotność, symetryczność i przechodniość. Relacje równoważności. Klasy abstrakcji, zbiór ilorazowy, odwzorowanie ilorazowe, zasada abstrakcji. Algebry i kongruencje.

Relacja porządku częściowego i liniowego, diagramy Hassego relacji porządku, elementy wyróżnione w porządkach: elementy minimalne i maksymalne, największe i najmniejsze, kresy podzbiorów.

Własności porządków: porządki gęste, zupełne, dobre. Izomorfizm zbiorów uporządkowanych, niezmienniki izomorfizmu.

Dobre porządki, twierdzenie Zermelo (dowód niewymagany) i jego związki z aksjomatem wyboru. Wzmianka o liczbach porządkowych i liczbach kardynalnych.

Lemat Kuratowskiego-Zorna (dowód niewymagany), zastosowania lematu K-Z, istnienie bazy dowolnej przestrzeni liniowej, możliwość porównania mocy dowolnych dwóch zbiorów.

Konstrukcje liczbowe – liczby całkowite i wymierne, wzmianka o działaniach i porządku. Liczby rzeczywiste, działania i porządek.

*) Kurs w wersji “z gwiazdką” może zostać poszerzony o dodatkowe treści, np.:

bardziej formalne ujęcie elementów logiki matematycznej,

dowody twierdzeń pomijanych w wersji standardowej, np. twierdzenie Zermelo i lemat Kuratowskiego–Zorna,

dodatkowe informacje o dobrych porządkach, twierdzenie o definiowaniu przez indukcję pozaskończoną,

dodatkowe wiadomości o liczbach porządkowych i kardynalnych, najprostsze twierdzenia arytmetyki kardynalnej.

mniej standardowe i bardziej abstrakcyjne przykłady omawiane na ćwiczeniach w trakcie całego kursu

Literatura

1. W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości, PWN, Warszawa 2005.

2. W. Guzicki, P. Zakrzewski, Zbiór zadań ze wstępu do matematyki, PWN, Warszawa 2005.

3. J. Kraszewski, Wstęp do matematyki, WNT, Warszawa 2015.

4. K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN, Warszawa 2004.

5. H. Rasiowa, Wstęp do matematyki, PWN, Warszawa 2004.

Student ukończywszy kurs:

- zna najważniejsze aksjomaty teorii mnogości, jest świadom możliwości formalizacji matematyki na gruncie teorii mnogości, w tym formalizacji takich pojęć jak para uporządkowana, funkcja, relacja, konstrukcje podstawowych zbiorów liczbowych.

- umie operować konstrukcjami na zbiorach (suma, iloczyn, iloczyn kartezjański, zbiór potęgowy, indeksowane rodziny zbiorów) również w zakresie działań podwójnych, rodzin indeksowanych dowolnym zbiorem indeksów, a także w odniesieniu do rodzin zbiorów i rodzin funkcji.

- rozpoznaje podstawowe własności funkcji, znajduje obraz/przeciwobraz zbioru dla danej funkcji, również w odniesieniu do bardziej abstrakcyjnych przykładów niż funkcje określone na podzbiorach R lub R^n.

- potrafi badać równoliczność zbiorów, rozpoznaje zbiory przeliczalne i zbiory mocy continuum, zna własności zbiorów przeliczalnych i zbiorów mocy continuum.

- rozpoznaje relacje równoważności, wyznacza klasy abstrakcji, ich moce oraz ich liczbę (moc zbioru ilorazowego).

- zna pojęcie relacji częściowego, liniowego i dobrego porządku, wskazuje elementy wyróżnione w porządku częściowym.

- potrafi ustalić istnienie lub nieistnienie izomorfizmu zbiorów uporządkowanych.

- zna lemat Kuratowskiego-Zorna, rozumie jego zastosowania w dowodach. Zna niektóre jego zastosowania.