Uniwersytet Warszawski - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Wstęp do teorii mnogości

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-112bWTM
Kod Erasmus / ISCED: 11.1 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: Wstęp do teorii mnogości
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty obowiązkowe dla I roku matematyki
Punkty ECTS i inne: 6.00 Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Rodzaj przedmiotu:

obowiązkowe

Skrócony opis:

Zajęcia realizowane w ramach projektu „Zintegrowany Program Rozwoju Dydaktyki – ZIP 2.0”, współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego – Program Fundusze Europejskie dla Rozwoju Społecznego 2021-2027 (FERS) (nr umowy: FERS.01.05-IP.08-0365/23-00).

Przedmiot stanowi kontynuację przedmiotu Wstęp do Matematyki, w której pojęcia wprowadzone wcześniej zostają bardziej formalnie i precyzyjnie wprowadzone na gruncie teorii mnogości i jej aksjomatów, ukazując jej rolę we współczesnej matematyce. Pojęcia te zostaną zilustrowane bardziej abstrakcyjnymi przykładami. Ponadto omówione zostaną takie zagadnienia jak teoria równoliczności, relacje równoważności i teoria częściowych porządków.

Pełny opis:

Zajęcia realizowane w ramach projektu „Zintegrowany Program Rozwoju Dydaktyki – ZIP 2.0”, współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego – Program Fundusze Europejskie dla Rozwoju Społecznego 2021-2027 (FERS) (nr umowy: FERS.01.05-IP.08-0365/23-00).

Rola teorii mnogości w matematyce. Antynomia Russella. Wzmianka o aksjomatach. Suma i iloczyn (przecięcie) rodziny zbiorów.

Definicje oparte na pojęciu zbioru: para uporządkowana, funkcja, indeksowane rodziny zbiorów. Sumy i iloczyny indeksowanych rodzin zbiorów. Działania wielokrotne, związki z kwantyfikatorami.

Iloczyn kartezjański indeksowanej rodziny zbiorów, aksjomat wyboru. Obrazy i przeciwobrazy indeksowanych sum i przecięć.

Zbiór liczb naturalnych jako najmniejszy zbiór induktywny. Twierdzenie o definiowaniu przez indukcję. Wzmianka o aksjomatach Peano.

Równoliczność zbiorów. Elementy ogólnej teorii równoliczności.

Zbiory skończone, przeliczalne, co najwyżej przeliczalne. Własności zbiorów (co najwyżej) przeliczalnych, w szczególności dotyczące ich obrazów, sum i iloczynów kartezjańskich.

Dowodzenie nieprzeliczalności zbiorów. Metoda przekątniowa. Twierdzenie Cantora. Porównywanie mocy zbiorów, twierdzenie Cantora-Bernsteina.

Zbiory mocy continuum, wzmianka o hipotezie continuum. Ważne przykłady zbiorów mocy continuum, równoliczności zbioru liczb rzeczywistych ze zbiorem potęgowym zbioru liczb naturalnych oraz zbiorem wszystkich nieskończonych ciągów o wyrazach naturalnych. Własności zbiorów mocy (co najwyżej) continuum, w szczególności dotyczące ich obrazów, sum i iloczynów kartezjańskich.

Własności relacji: zwrotność, symetryczność i przechodniość. Relacje równoważności. Klasy abstrakcji, zbiór ilorazowy, odwzorowanie ilorazowe, zasada abstrakcji. Algebry i kongruencje.

Relacja porządku częściowego i liniowego, diagramy Hassego relacji porządku, elementy wyróżnione w porządkach: elementy minimalne i maksymalne, największe i najmniejsze, kresy podzbiorów.

Własności porządków: porządki gęste, zupełne, dobre. Izomorfizm zbiorów uporządkowanych, niezmienniki izomorfizmu.

Dobre porządki, twierdzenie Zermelo (dowód niewymagany) i jego związki z aksjomatem wyboru. Wzmianka o liczbach porządkowych i liczbach kardynalnych.

Lemat Kuratowskiego-Zorna (dowód niewymagany), zastosowania lematu K-Z, istnienie bazy dowolnej przestrzeni liniowej, możliwość porównania mocy dowolnych dwóch zbiorów.

Konstrukcje liczbowe – liczby całkowite i wymierne, wzmianka o działaniach i porządku. Liczby rzeczywiste, działania i porządek.

*) Kurs w wersji “z gwiazdką” może zostać poszerzony o dodatkowe treści, np.:

bardziej formalne ujęcie elementów logiki matematycznej,

dowody twierdzeń pomijanych w wersji standardowej, np. twierdzenie Zermelo i lemat Kuratowskiego–Zorna,

dodatkowe informacje o dobrych porządkach, twierdzenie o definiowaniu przez indukcję pozaskończoną,

dodatkowe wiadomości o liczbach porządkowych i kardynalnych, najprostsze twierdzenia arytmetyki kardynalnej.

mniej standardowe i bardziej abstrakcyjne przykłady omawiane na ćwiczeniach w trakcie całego kursu

Literatura:

Literatura

1. W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości, PWN, Warszawa 2005.

2. W. Guzicki, P. Zakrzewski, Zbiór zadań ze wstępu do matematyki, PWN, Warszawa 2005.

3. J. Kraszewski, Wstęp do matematyki, WNT, Warszawa 2015.

4. K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN, Warszawa 2004.

5. H. Rasiowa, Wstęp do matematyki, PWN, Warszawa 2004.

Efekty uczenia się:

Student ukończywszy kurs:

- zna najważniejsze aksjomaty teorii mnogości, jest świadom możliwości formalizacji matematyki na gruncie teorii mnogości, w tym formalizacji takich pojęć jak para uporządkowana, funkcja, relacja, konstrukcje podstawowych zbiorów liczbowych.

- umie operować konstrukcjami na zbiorach (suma, iloczyn, iloczyn kartezjański, zbiór potęgowy, indeksowane rodziny zbiorów) również w zakresie działań podwójnych, rodzin indeksowanych dowolnym zbiorem indeksów, a także w odniesieniu do rodzin zbiorów i rodzin funkcji.

- rozpoznaje podstawowe własności funkcji, znajduje obraz/przeciwobraz zbioru dla danej funkcji, również w odniesieniu do bardziej abstrakcyjnych przykładów niż funkcje określone na podzbiorach R lub R^n.

- potrafi badać równoliczność zbiorów, rozpoznaje zbiory przeliczalne i zbiory mocy continuum, zna własności zbiorów przeliczalnych i zbiorów mocy continuum.

- rozpoznaje relacje równoważności, wyznacza klasy abstrakcji, ich moce oraz ich liczbę (moc zbioru ilorazowego).

- zna pojęcie relacji częściowego, liniowego i dobrego porządku, wskazuje elementy wyróżnione w porządku częściowym.

- potrafi ustalić istnienie lub nieistnienie izomorfizmu zbiorów uporządkowanych.

- zna lemat Kuratowskiego-Zorna, rozumie jego zastosowania w dowodach. Zna niektóre jego zastosowania.

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2025/26" (zakończony)

Okres: 2026-02-16 - 2026-06-07
Wybrany podział planu:
Przejdź do planu
Typ zajęć:
Ćwiczenia, 60 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Michał Korch
Prowadzący grup: Tomasz Cieśla, Daniel Hoffmann, Leszek Kołodziejczyk, Michał Korch, Mikołaj Krupski
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin
Uwagi:

Wykład

Odbywa się w piątki o 8:30.

Dodatkowo prowadzony będzie kurs na wydziałowym Moodle’u, gdzie będą się pojawiać niektóre materiały związane z wykładami. Studenci mają obowiązek dołączyć do tego kursu.

Na kursie na Moodle’u w poniedziałek po wybranych dziesięciu piątkach, będzie się pojawiać test obejmujący dowolne części materiału omówionego dotychczas na wykładzie. Test będzie otwarty przez tydzień, a od jego otwarcia będzie godzina na jego ukończenie. Testy dla poszczególnych studentów będą losowo generowane.

Ćwiczenia i prace domowe

Obecność na ćwiczeniach jest obowiązkowa. Szczegółowe zasady w sprawie dopuszczalnej liczby nieobecności ustalają prowadzący ćwiczenia i w przypadku nadmiernej liczby nieobecności prowadzący ćwiczenia ma prawo zadecydować o utracie prawa do zaliczania przedmiotu przez studenta w pierwszym lub w obu terminach.

Każdy prowadzący ćwiczenia ma do przyznania punkty za ćwiczenia, wliczające się w sumę punktów, na której podstawie wystawiona będzie końcowa ocena (patrz niżej).

Prowadzący ćwiczenia będą zadawać prace domowe podzielone na serie: 6 serii po 3 zadania. Oddanie rozwiązania następuje poprzez wgranie odpowiednich plików przez serwis Moodle’a w wyznaczonym terminie.

Nad zadaniami można myśleć w maksymalnie czteroosobowych zespołach, ale każdy student w pełni samodzielnie redaguje przesyłane rozwiązanie. Student ma prawo oddać swoje samodzielnie spisane rozwiązanie tylko wtedy, jeśli całkowicie je rozumie. Studenci, którzy zdecydowali się myśleć w zespołach, podają skład zespołu w swojej pracy domowej w przeznaczonym do tego polu przy wysyłaniu pracy domowej. Nie zwalnia to z obowiązku jednoosobowego i samodzielnego spisania rozwiązania przez każdego ze studentów.

Zachęcamy do oddawania prac domowych zredagowanych w LateXu, co będzie wymagało przesłania pliku .tex oraz pliku .pdf. Studenci, którzy w ten sposób oddadzą większość prac domowych, na koniec semestru otrzymają dodatkowy 1 punkt. W kursie na Moodle’u pojawią się materiały do samodzielnej nauki używania LateXa.

Oddane prace będą podlegać automatycznej kontroli antyplagiatowej. W przypadku stwierdzenia rażącej niesamodzielności pracy, punkty zostaną wyzerowane, a wcześniejsze i późniejsze prace domowe danego studenta ręcznie zweryfikowane pod tym kątem.

Prace będą sprawdzać graderzy (wyznaczeni studenci wyższych lat), korzystając z serwisu Moodle, którzy każdą pracę ocenią i każde rozwiązanie opatrzą komentarzem. Graderzy też będą elementem dodatkowej kontroli antyplagiatowej. Prowadzący grupę ćwiczeniową w razie wątpliwości zgłoszonych przez gradera może zweryfikować, czy student rozumie swoje rozwiązanie poprzez indywidualną rozmowę ze studentem i od tego uzależnić przyznaną liczbę punktów.

Konsultacje

Każdy prowadzący ćwiczenia prowadzi konsultacje dla studentów swojej grupy w ustalonym terminie raz na tydzień lub po umówieniu się ze studentami mailowo. Konsultacje mogą odbywać się on-line.

Kolokwium

Odbędzie się w czwartek 23 kwietnia o godz. 17:00.

Egzamin zerowy

Studenci, którzy przed ostatnim tygodniem zajęć zdobędą co najmniej 90% punktów sumarycznie z kolokwium, testów zamkniętych przed przedostatnim wykładem oraz prac domowych sprawdzonych przed przedostatnim wykładem, zostaną zaproszeni na egzamin ustny i w przypadku pozytywnego jego wyniku będą zwolnieni z egzaminu w sesji.

Egzamin w pierwszym terminie

Forma egzaminu

Wszyscy studenci (z ewentualnym wyjątkiem osób, których dotyczą szczególne sytuacje opisane w Regulaminie Studiów i zasady ustalone przez prowadzącego ćwiczenia związane z dopuszczalną liczbą nieobecności) są dopuszczeni do egzaminu.

Egzamin będzie się składał z:

części testowej,

części zadaniowej.

Ocena w pierwszym terminie

Po egzaminie pisemnym wystawiana jest ocena, która zależy od sumy punktów zdobytych z następujących komponentów (łącznie do zdobycia jest 100 pkt.):

Kolokwium - 24 pkt

Egzamin część zadaniowa - 24 pkt

Egzamin część testowa- 24 pkt

Zadania domowe - 12 pkt (6 serii po 3 zadania po 4 punkty, na końcu suma podzielona przez 6)

Testy Moodle - 10 pkt

Ćwiczenia - 5 pkt

Latex - 1 pkt.

W szczególnych (rzadkich) przypadkach wykładowca może dodatkowo zaproponować egzamin ustny, którego wynik może zmienić ocenę wystawioną na podstawie sumy zdobytych punktów. Na dopuszczenie do egzaminu ustnego może mieć wpływ opinia prowadzącego ćwiczenia.

Egzamin w drugim terminie

W terminie poprawkowym ocenę wyznacza się na podstawie wyniku drugiego terminu egzaminu (część testowa i zadaniowa) oraz ewentualnie egzaminu ustnego.

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2026/27" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2027-02-15 - 2027-06-06
Wybrany podział planu:
Przejdź do planu
Typ zajęć:
Ćwiczenia, 60 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Michał Korch
Prowadzący grup: Leszek Kołodziejczyk, Michał Korch, Kamil Ryduchowski, Damian Sobota, Piotr Szewczak
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin
Uwagi:

Wykład

Odbywa się w piątki o 8:30.

Dodatkowo prowadzony będzie kurs na wydziałowym Moodle’u, gdzie będą się pojawiać niektóre materiały związane z wykładami. Studenci mają obowiązek dołączyć do tego kursu.

Na kursie na Moodle’u w poniedziałek po wybranych dziesięciu piątkach, będzie się pojawiać test obejmujący dowolne części materiału omówionego dotychczas na wykładzie. Test będzie otwarty przez tydzień, a od jego otwarcia będzie godzina na jego ukończenie. Testy dla poszczególnych studentów będą losowo generowane.

Ćwiczenia i prace domowe

Obecność na ćwiczeniach jest obowiązkowa. Szczegółowe zasady w sprawie dopuszczalnej liczby nieobecności ustalają prowadzący ćwiczenia i w przypadku nadmiernej liczby nieobecności prowadzący ćwiczenia ma prawo zadecydować o utracie prawa do zaliczania przedmiotu przez studenta w pierwszym lub w obu terminach.

Każdy prowadzący ćwiczenia ma do przyznania punkty za ćwiczenia, wliczające się w sumę punktów, na której podstawie wystawiona będzie końcowa ocena (patrz niżej).

Prowadzący ćwiczenia będą zadawać prace domowe podzielone na serie: 6 serii po 3 zadania. Oddanie rozwiązania następuje poprzez wgranie odpowiednich plików przez serwis Moodle’a w wyznaczonym terminie.

Nad zadaniami można myśleć w maksymalnie czteroosobowych zespołach, ale każdy student w pełni samodzielnie redaguje przesyłane rozwiązanie. Student ma prawo oddać swoje samodzielnie spisane rozwiązanie tylko wtedy, jeśli całkowicie je rozumie. Studenci, którzy zdecydowali się myśleć w zespołach, podają skład zespołu w swojej pracy domowej w przeznaczonym do tego polu przy wysyłaniu pracy domowej. Nie zwalnia to z obowiązku jednoosobowego i samodzielnego spisania rozwiązania przez każdego ze studentów.

Zachęcamy do oddawania prac domowych zredagowanych w LateXu, co będzie wymagało przesłania pliku .tex oraz pliku .pdf. Studenci, którzy w ten sposób oddadzą większość prac domowych, na koniec semestru otrzymają dodatkowy 1 punkt. W kursie na Moodle’u pojawią się materiały do samodzielnej nauki używania LateXa.

Oddane prace będą podlegać automatycznej kontroli antyplagiatowej. W przypadku stwierdzenia rażącej niesamodzielności pracy, punkty zostaną wyzerowane, a wcześniejsze i późniejsze prace domowe danego studenta ręcznie zweryfikowane pod tym kątem.

Prace będą sprawdzać graderzy (wyznaczeni studenci wyższych lat), korzystając z serwisu Moodle, którzy każdą pracę ocenią i każde rozwiązanie opatrzą komentarzem. Graderzy też będą elementem dodatkowej kontroli antyplagiatowej. Prowadzący grupę ćwiczeniową w razie wątpliwości zgłoszonych przez gradera może zweryfikować, czy student rozumie swoje rozwiązanie poprzez indywidualną rozmowę ze studentem i od tego uzależnić przyznaną liczbę punktów.

Konsultacje

Każdy prowadzący ćwiczenia prowadzi konsultacje dla studentów swojej grupy w ustalonym terminie raz na tydzień lub po umówieniu się ze studentami mailowo. Konsultacje mogą odbywać się on-line.

Kolokwium

Odbędzie się w czwartek 23 kwietnia o godz. 17:00.

Egzamin zerowy

Studenci, którzy przed ostatnim tygodniem zajęć zdobędą co najmniej 90% punktów sumarycznie z kolokwium, testów zamkniętych przed przedostatnim wykładem oraz prac domowych sprawdzonych przed przedostatnim wykładem, zostaną zaproszeni na egzamin ustny i w przypadku pozytywnego jego wyniku będą zwolnieni z egzaminu w sesji.

Egzamin w pierwszym terminie

Forma egzaminu

Wszyscy studenci (z ewentualnym wyjątkiem osób, których dotyczą szczególne sytuacje opisane w Regulaminie Studiów i zasady ustalone przez prowadzącego ćwiczenia związane z dopuszczalną liczbą nieobecności) są dopuszczeni do egzaminu.

Egzamin będzie się składał z:

części testowej,

części zadaniowej.

Ocena w pierwszym terminie

Po egzaminie pisemnym wystawiana jest ocena, która zależy od sumy punktów zdobytych z następujących komponentów (łącznie do zdobycia jest 100 pkt.):

Kolokwium - 24 pkt

Egzamin część zadaniowa - 24 pkt

Egzamin część testowa- 24 pkt

Zadania domowe - 12 pkt (6 serii po 3 zadania po 4 punkty, na końcu suma podzielona przez 6)

Testy Moodle - 10 pkt

Ćwiczenia - 5 pkt

Latex - 1 pkt.

W szczególnych (rzadkich) przypadkach wykładowca może dodatkowo zaproponować egzamin ustny, którego wynik może zmienić ocenę wystawioną na podstawie sumy zdobytych punktów. Na dopuszczenie do egzaminu ustnego może mieć wpływ opinia prowadzącego ćwiczenia.

Egzamin w drugim terminie

W terminie poprawkowym ocenę wyznacza się na podstawie wyniku drugiego terminu egzaminu (część testowa i zadaniowa) oraz ewentualnie egzaminu ustnego.

Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.
Krakowskie Przedmieście 26/28
00-927 Warszawa
tel: +48 22 55 20 000 https://uw.edu.pl/
kontakt deklaracja dostępności mapa serwisu USOSweb 7.3.1.0-3 (4a881992) :: 2026-07-15