Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Analiza matematyczna II.1 (potok *)

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-113bAM3* Kod Erasmus / ISCED: 11.1 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Analiza matematyczna II.1 (potok *)
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty obowiązkowe dla II roku (3. semestr) JSIM - wariant 3I+4M
Przedmioty obowiązkowe dla II roku (3. semestr) JSIM - wariant 3M+4I
Przedmioty obowiązkowe dla II roku matematyki
Przedmioty obowiązkowe dla II roku matematyki specjalności MSEM
Punkty ECTS i inne: 10.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Kierunek podstawowy MISMaP:

fizyka
matematyka

Rodzaj przedmiotu:

obowiązkowe

Skrócony opis:

Rachunek różniczkowy wielu zmiennych, teoria miary i całki.

Uwaga: wykład może być trudniejszy i obszerniejszy od zwykłego.

Pełny opis:

Rachunek różniczkowy wielu zmiennych

1. Struktura liniowa i topologiczna przestrzeni R^n. Odwzorowania liniowe w R^n i ich własności: różnowartościowość, otwartość zbioru odwzorowań odwracalnych. (1 wykład)

2. Odwzorowania R^n w R^n, ciągłość, różniczkowalność odwzorowań, pochodna odwzorowania, pochodne kierunkowe i cząstkowe. Związek pochodnej z pochodnymi kierunkowymi. Pochodna superpozycji odwzorowań. Tw. o wartości średniej dla funkcji wielu zmiennych i odwzorowań. (4 wykłady)

3. Pochodne wyższych rzędów. Tw. Schwarza o równości pochodnych mieszanych. Wzór Taylora. Zastosowania: ekstrema funkcji wielu zmiennych. (2 wykłady)

4. Tw. o funkcji odwrotnej. Tw. o funkcji uwikłanej. Przykłady. (3 wykłady)

5. Ekstrema warunkowe (związane), metoda mnożników Lagrange'a. Przykłady. (2 wykłady)

Teoria miary i całki

1. Sigma-ciała: definicja, własności. Sigma-ciało zbiorów borelowskich. Definicja miary, przestrzeń z miarą, własności miary. Miara zewnętrzna, tw. Caratheodory'ego. (2 wykłady)

2. Konstrukcja miary Lebesgue'a na R^n, własności. Funkcje mierzalne: definicja, własności, funkcje proste. Funkcja mierzalna jako granica niemalejącego ciągu funkcji prostych. (2 wykłady)

3. Konstrukcja całki Lebesgue'a, własności: tw. Lebesgue'a o monotonicznym przejściu do granicy, całka sumy funkcji, lemat Fatou, tw. Lebesgue'a o zmajoryzowanym przejściu do granicy. Aproksymacja całki Lebesgue'a sumami Riemanna. (3 wykłady)

4. Funkcje o wahaniu skończonym. Calka Stieltjesa. (1 wykład)

5. Produktowanie miar. Sigma-ciała produktowe, skończony produkt miar. Tw. Fubiniego. Przykłady zastosowań. Tw. o całkowaniu przez podstawienie. (4 wykłady)

6. Miary absolutnie ciągłe i osobliwe. Twierdzenie Radona-Nikodyma. (2 wykłady)

Literatura:

A. Birkholc, Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych. PWN, Warszawa 2002.

B.P. Demidowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Naukowa Książka, Lublin 1992 (t. I) i 1993 (t. II i III).

G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom I--III, PWN, Warszawa 1999

W. Pusz, A. Strasburger, Zbiór zadań z analizy matematycznej Wydział Fizyki UW, Warszawa 1982.

W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 1998.

R. Sikorski, Rachunek różniczkowy i całkowy, funkcje wielu zmiennych . Bibl. Matem. 28, wyd. IV rozsz., PWN, Warszawa 1977

M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, PWN, Warszawa 1977.

Efekty kształcenia:

1. Zna pojęcia pochodnej kierunkowej, pochodnej cząstkowej, różniczki zupełnej (pochodnej odwzorowania) i macierzy Jacobiego odwzorowania; rozumie związki między tymi pojęciami i zna ich najważniejsze własności algebraiczne i analityczne. Potrafi badać ciągłość i różniczkowalność funkcji wielu zmiennych. Operuje przykładami, ilustrującymi związki między pochodnymi cząstkowymi i pochodną odwzorowania. W przykładach potrafi badać różniczkowalność odwzorowań określonych na przestrzeniach nieskończonego wymiaru.

2. Zna twierdzenie Schwarza o symetrii drugiej różniczki i wzór Taylora oraz warunki dostateczne ekstremów lokalnych funkcji wielu zmiennych. Potrafi wyznaczać kresy funkcji, określonych na różnych podzbiorach przestrzeni euklidesowej. Potrafi określać charakter punktu krytycznego funkcji klasy C^2.

3. Zna twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikłanej oraz pojęcie rozmaitości zanurzonej i pojęcie dyfeomorfizmu.

4. Potrafi opisać jawnymi wzorami dyfeomorfizm między nieskomplikowanymi podzbiorami płaszczyzny (przestrzeni trójwymiarowej). Rozpoznaje przykłady rozmaitości zanurzonych; potrafi uzasadnić, że zbiór opisany konkretnymi równaniami jest (lub nie jest) rozmaitością.

5. Zna metodę mnożników Lagrange'a. Wyznacza ekstrema lokalne związane funkcji wielu zmiennych rzeczywistych.

6. Zna podstawowe pojęcia teorii miary i całki, w tym twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej i zmajoryzowanej, twierdzenie o zmianie kolejności całkowania i o całkowaniu przez podstawienie. Posługuje się twierdzeniami o zbieżności zmajoryzowanych i zbieżności monotonicznej (a) do badania granic całek, zależnych od parameteru, (b) badając ciągłość i różniczkowalność funkcji określonych za pomocą całek zależnych od parametru. Potrafi podać przykłady, świadczące o istotności założeń w tych twierdzeniach.

7. Zna i potrafi zastosować twierdzenie Sarda.

8. Rozumie różnice pomiędzy teorią całki Riemanna oraz całki Lebesgue'a; potrafi wykazać zupełność różnych przestrzeni funkcyjnych z daną normą całkową.

Metody i kryteria oceniania:

Dwa kolokwia, egzamin pisemny oraz punkty za aktywność na ćwiczeniach. Egzamin ustny w sytuacjach niejednoznacznych.

Zaproponowaną ocenę można poprawiać na egzaminie ustnym.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2018/19" (zakończony)

Okres: 2018-10-01 - 2019-01-25
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 60 godzin więcej informacji
Wykład, 60 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Paweł Goldstein
Prowadzący grup: Paweł Goldstein, Marcin Kotowski
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2019/20" (w trakcie)

Okres: 2019-10-01 - 2020-01-27
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 60 godzin więcej informacji
Wykład, 60 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Marcin Bobieński
Prowadzący grup: Marcin Bobieński, Marcin Kotowski
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.