Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Topologia I (potok 1)

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-113bTP1a Kod Erasmus / ISCED: 11.1 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Topologia I (potok 1)
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty obowiązkowe dla II roku (3. semestr) JSIM - wariant 3I+4M
Przedmioty obowiązkowe dla II roku (3. semestr) JSIM - wariant 3M+4I
Przedmioty obowiązkowe dla II roku matematyki
Przedmioty obowiązkowe dla II roku matematyki specjalności MSEM
Punkty ECTS i inne: 7.50
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Rodzaj przedmiotu:

obowiązkowe

Skrócony opis:

Wykład omawia podstawowe pojęcia topologii: przestrzenie metryczne i topologiczne, przekształcenia ciągłe, homeomorfizmy, iloczyny kartezjańskie, zupełne przestrzenie metryczne, zwartość, spójność i łukową spójność, homotopię przekształceń i pętli, ściągalność, konstrukcję przestrzeni ilorazowej.

Pełny opis:

1. Przestrzenie metryczne. Topologia w przestrzeniach metrycznych. Przestrzenie topologiczne. Baza topologii. Wnętrze, domknięcie, brzeg podzbioru przestrzeni topologicznej. Własność Hausdorffa. Przekształcenia ciągłe, równoważne charakteryzacje ciągłości. Homeomorfizmy. Twierdzenie Tietzego o przedłużaniu przekształceń (dla przestrzeni metryzowalnych). Iloczyny kartezjańskie i sumy proste przestrzeni topologicznych. Ośrodkowość.

2. Przestrzenie zwarte. Liczba Lebesgue’a pokrycia. Warunki równoważne zwartości w przestrzeniach metryzowalnych. Zwarte podzbiory przestrzeni euklidesowej. Przekształcenia ciągłe przestrzeni zwartych. Twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów. Jednostajna ciągłość. Zbiór Cantora. Twierdzenie Tichonowa o zwartości iloczynu kartezjańskiego przestrzeni zwartych (dowód dla iloczynu skończonego).

3. Przestrzenie spójne. Łukowa spójność. Składowe spójności i składowe łukowej spójności.

4. Konstrukcja przestrzeni ilorazowej. Przyklejanie za pomocą przekształcenia. Przykłady otrzymywania powierzchni przez sklejenia wielokąta.

5. Przestrzenie zupełne. Zupełność przestrzeni funkcji ciągłych. Twierdzenie Banacha o punkcie stałym. Twierdzenie Baire'a. Metryki całkowicie ograniczone - zwartość a zupełność. Twierdzenie Ascoliego-Arzeli.

6. Homotopia przekształceń. Ściągalność przestrzeni. Homotopia pętli. Jednospójność. Grupa podstawowa. Dowód nieściągalności okręgu. Zastosowania: nieistnienie retrakcji dysku na okrąg, Twierdzenie Brouwera w wymiarze 2, dowód Zasadniczego Twierdzenia Algebry.

Literatura:

1. S. Betley, J. Chaber, E. Pol, R. Pol, Topologia I, Skrypt MIMUW, Warszawa 2017.

2. R. Engelking, K. Sieklucki, Wstęp do topologii, PWN, Warszawa 1986.

3. K. Janich, Topologia, PWN, Warszawa 1991.

4. K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN, Warszawa 2004.

5. J. Mioduszewski, Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych, Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego,

Katowice 1994

Efekty kształcenia:

1. Posiada umiejętność wprowadzania topologii w zbiorze przy pomocy zadania metryki, lub rodzin podzbiorów spełniających określone warunki. Umie znajdować domknięcia i wnętrza podzbiorów przestrzeni topologicznych i metrycznych.

2. Umie stosować różne kryteria ciągłości do zbadania, czy zadane przekształcenie jest ciągłe i czy jest homeomorfizmem.

3. Zna sposoby definiowania przestrzeni topologicznych przy pomocy konstrukcji podprzestrzeni, iloczynu kartezjańskiego, przestrzeni ilorazowej i sumy prostej. Rozpoznaje te konstrukcje w przykładach geometrycznych.

4. Potrafi rozpoznać własności zwartości, spójności i łukowej spójności przestrzeni topologicznej i metrycznej. Umie wykorzystać te własności do rozstrzygania czy przestrzenie są homeomorficzne.

5. Zna podstawowe przykłady przestrzeni zwartych, w tym zbiór Cantora i twierdzenia dotyczące zwartości, w tym twierdzenie Tichonowa i twierdzenie Weierstrassa.

6. Potrafi rozstrzygnąć o zupełności przestrzeni metrycznej i zna pojęcie metryzowalności w sposób zupełny. Zna twierdzenie Banacha i twierdzenie Baire’a. Umie konstruować obiekty o specjalnych własnościach przy pomocy Twierdzenie Baire’a.

7. Potrafi rozpoznać kiedy dwa przekształcenia są homotopijne. Odróżnia przestrzenie ściągalne od nieściągalnych. Zna twierdzenie o nieściągalności okręgu i jego zastosowania.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2018/19" (zakończony)

Okres: 2018-10-01 - 2019-01-25
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 45 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Stanisław Betley
Prowadzący grup: Stanisław Betley, Weronika Buczyńska, Mikołaj Krupski, Elżbieta Pol, Roman Pol
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2019/20" (w trakcie)

Okres: 2019-10-01 - 2020-01-27
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 45 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Stanisław Betley
Prowadzący grup: Stanisław Betley, Agnieszka Bojanowska-Jackowska, Mikołaj Krupski, Elżbieta Pol, Roman Pol
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.