Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Topologia II

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-134TP2 Kod Erasmus / ISCED: 11.162 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Topologia II
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty fakultatywne dla studiów 1 stopnia na matematyce
Przedmioty fakultatywne na matematyce
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Rodzaj przedmiotu:

fakultatywne

Założenia (lista przedmiotów):

Topologia I (potok I) 1000-113aTP1a

Skrócony opis:

W części pierwszej wykładu zostanie omówione pojecie grupy podstawowej przestrzeni topologicznej i jej zwiazku z kategorią przestrzeni nakrywajacych. Druga część wykładu bedzie poświęcona wprowadzeniu do teorii homologii singularnych przestrzeni topologicznych. Na zakończenie przedstawione będą zastosowania wprowadzonych wcześniej pojęć.

Jeśli w wykładzie nie uczestniczą słuchacze obcojęzyczni, będzie on prowadzony po polsku.

Pełny opis:

Homotopia przekształceń. Homotopijna równoważność. Topologia zwarto-otwarta w przestrzeniach funkcyjnych i interpretacja klas homotopii jako składowych łukowych w przestrzeniach odwzorowań. Grupa podstawowa przestrzeni topologicznej i jej własności - funktorialność, zależność od wyboru punktu bazowego (2 wykłady).

Przekształcenia nakrywające. Morfizmy nakryć. Podnoszenie przekształceń, podnoszenie homotopii. Monomorfizm grup podstawowych indukowany przez nakrycie. Działanie grupy na przestrzeni topologicznej. Nakrycia regularne. Nakrycie uniwersalne, istnienie nakrycia o zadanej grupie podstawowej (szkic konstrukcji). Klasyfikacja nakryć nad zadaną przestrzenią. (4 wykłady).

Kompleksy łańcuchowe i ich homologie, homotopia łańcuchowa. Homologie singularne przestrzeni topologicznych, odwzorowania indukowane przez przekształcenia ciągłe. Aksjomaty toerii homologii. Ciąg Mayera-Vietorisa. Obliczenia grup homologii sfer i powierzchni. Przykłady zastosowań: nieistnienie retrakcji kuli na sferę, twierdzenie Brouwera o punkcie stałym, twierdzenie Jordana o rozcinaniu, twierdzenie o zachowaniu obszaru. Twierdzenie Hurewicza w wymiarze 1. (8 wykładów).

Literatura:

G. Bredon, Topology and Geometry. Graduate Texts in Mathematics 139, Springer-Verlag, New York 1993.

M. Greenberg, Wykłady z topologii algebraicznej. Warszawa 1980

K. Janich, Topologia. PWN, Warszawa 1991.

W. Massey, A Basic Course in Algebraic Topology. New York, 1991.

Efekty kształcenia:

1.Zna definicję homotopii przekształceń i homotopijnej równoważności i rozumie czym jest homotopijna klasyfikacja przestrzeni. Zna definicję grupy podstawowej przestrzeni topologicznej z wyróżnionym punktem bazowym. Umie wykorzystywać własność funktorialności grupy podstawowej .

2.Zna definicje przestrzeni nakrywającej i morfizmu nakryć. Zna przykłady nakryć. Rozumie na czym polega własność podnoszenia przekształceń i homotopii. Zna pojęcia nakrycia regularnego i nakrycia uniwersalnego.

3.Zna pojęcie kompleksu łańcuchowego, homologii kompleksu łańcuchowego i homotopii łańcuchowej. Zna pojęcie grup syngularnych oraz rozumie czym są homorfizmy grup homologii indukowane przez funkcje ciągle.

4.Zna aksjomaty teorii homologii i ciąg Mayera - Vietorisa. Potrafi wyliczyć grupy homologii sfer, powierzchni, rozmaitości orientowalnych i nieorientowanych (najwyższy wymiar) i zawieszenia. Wie, ze grupa homologii w wymiarze 1 jest abelianizacją grupy podstawowej i umie z tego faktu korzystać.

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2018/19" (zakończony)

Okres: 2019-02-16 - 2019-06-08
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Adam Toruńczyk
Prowadzący grup: Adam Toruńczyk
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2019/20" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2020-02-17 - 2020-06-10
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Agnieszka Bojanowska-Jackowska
Prowadzący grup: Agnieszka Bojanowska-Jackowska
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.