Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Algebra przemienna

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-135ALP Kod Erasmus / ISCED: 11.1 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Algebra przemienna
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty fakultatywne dla studiów 2 stopnia na matematyce
Przedmioty fakultatywne na matematyce
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

fakultatywne

Skrócony opis:

Przedmiot stanowi wprowadzenie do algebry przemiennej i jest wymagany do

rejestracji na przedmiot geometria algebraiczna. Na wykładzie zostaną

wprowadzone pojęcia związane z pierścieniami przemiennymi i modułami nad

tymi pierścieniami, i zostaną dowiedzione podstawowe twierdzenia dotyczące

tych klas obiektów algebraicznych; ważną klasą rozważanych pierścieni będą

pierścienie noetherowskie.

Pełny opis:

1. Pierścienie przemienne. Ideały pierwsze, ideały maksymalne i prymarne.

Nilradykał pierścienia i jego opis jako przecięcia ideałów pierwszych,

radykał Jacobsona. Przykłady: wielomiany, szeregi, pierscienie funkcji

ciagłych.

2. Lokalizacja i pierscienie lokalne. Zachowanie sie ideałów przy lokalizacji.

3. Moduły. Ciągi dokładne, moduły wolne i projektywne. Lemat Nakayamy.

Iloczyn tensorowy i moduły płaskie.

4. Moduły i pierścienie noetherowskie. Wstępujące ciągi

ideałów i skończona generowalność. Rozkladalność elementów na

nierozkładalne. Twierdzenie Hilberta o bazie. Lokalizacja jest

noetherowska.

5. Skończone rozszerzenia i całkowite domknięcie. Równoważne

charakteryzacje całkowitości rozszerzeń, składanie rozszerzeń,

całkowite domkniecie, pierścienie normalne. Twierdzenie Noether o

normalizacji.

6. Wymiar Krulla. Wymiar Krulla pierscienia wielomianów i skończenie

generowanych k-algebr. Pierścienie Dedekinda.

7. Twierdzenie Hilberta o zerach, słabe i mocne wersje. Zbiory

algebraiczne w przestrzeni afinicznej, rozkład na składowe, topologia

Zariskiego. Spektrum pierścienia noetherowskiego, spektrum skończenie

generowanej algebry nad ciałem, Spec ZZ.

8. Pierścienie i moduły z gradacja, filtracje. Funkcja Hilberta, szereg

Poincare, ideały jednorodne. Relacja tych pojęć do warunku

noetherowskosci.

9. Twierdzenie Krulla o przecięciu, lemat Artina-Reesa, topologie

I-adyczne, uzupełnienia, liczby p-adyczne i ciało Qp jako przykłady.

10. Waluacje dyskretne i podstawowe własności pierscieni waluacji.

Normalne lokalne dziedziny wymiaru 1 są pierscieniami waluacji.

Normalna noetherowska dziedzina jako przecięcie pierscieni waluacji.

11. Ideały pierwsze stowarzyszone z modułem. Rozklad prymarny modułów i

ideałów w pierscieniach noetherowskich.

Uwaga: wykładowca decyduje jak wnikliwie przedstawiać tematy 8–11.

Literatura:

1. M.F. Atiyah, I.G. MacDonald. Wstep do algebry przemiennej.

2. J. Browkin. Teoria ciał.

3. S. Balcerzyk, T. Józefiak. Algebra Przemienna. (Istnieje przekład angielski).

4. D. Eisenbud. Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer 1995.

5. I. Kaplansky. Commutative Algebra.

6. S. Lang. Algebra, (oba wydania).

7. H. Matsumura. Commutative ring theory

8. M. Reid. Undergraduate commutative algebra.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2020/21" (w trakcie)

Okres: 2020-10-01 - 2021-01-31
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Joachim Jelisiejew
Prowadzący grup: Joachim Jelisiejew
Strona przedmiotu: https://www.mimuw.edu.pl/~jjelisiejew/uw/202021-algebraprzemienna/index.html
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.