Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Algebry skończenie wymiarowe i reprezentacje liniowe

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-135ASW Kod Erasmus / ISCED: 11.1 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Algebry skończenie wymiarowe i reprezentacje liniowe
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty fakultatywne dla studiów 2 stopnia na matematyce
Przedmioty fakultatywne na matematyce
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

fakultatywne

Skrócony opis:

Wykład ma na celu przedstawienie klasycznych rezultatów dotyczacych struktury i teorii reprezentacji

liniowych algebr skonczonego wymiaru nad ciałem. Omówione beda: odpowiedniosc pomiedzy teoria

modułów i teoria reprezentacji, moduły proste, radykał algebry i klasykacja półprostych algebr łacznych.

Podane beda zastosowania do teorii reprezentacji grup skonczonych, poprzez rezultaty dotyczace algebr

grupowych i teorie charakterów grup. Omówione zostana przykłady zastosowan. Podane beda podstawowe

informacje o skonczenie wymiarowych algebrach Lie’go i ich reprezentacjach. Jako narzedzie w tej teorii,

omówione zostana algebry obwiednie i ich własnosci.

Pełny opis:

1. Skonczenie wymiarowe algebry łaczne nad ciałem.

Pojecie i przykłady algebr, algebry skonczenie wymiarowe. Algebry proste i algebry z dzieleniem.

Moduły nad algebrami łacznymi, moduły półproste i proste. Radykał algebry łacznej. Twierdzenie

Wedderburna o strukturze algebr półprostych. Lemat Schura. Struktura skonczenie generowanych

modułów nad algebrami półprostymi. Algebry grupowe. Twierdzenie Maschke. Moduły nierozkładalne,

lemat Fittinga i twierdzenie Krulla-Schmidta.

2. Reprezentacje grup.

Reprezentacje nieprzywiedlne i całkowicie przywiedlne. Slady endomorzmów i charaktery. Ortogonalnosc

charakterów. Rozszerzenia całkowite. Reprezentacje skonczonych grup abelowych i grup

symetrycznych. Przykłady zastosowan, np. dowód twierdzenia o rozwiazalnosci grup rzedu pkqn.

3. Skonczenie wymiarowe algebry Lie’go i ich reprezentacje.

Definicja i przykłady. Radykał rozwiazalny. Algebry półproste oraz informacja o twierdzeniu strukturalnym

dla algebr prostych nad ciałem liczb zespolonych. Reprezentacje liniowe. Algebry obwiednie

i twierdzenie Poincare-Birkholza-Witta. Algebra łaczna wolna i „diamond lemma” jako narzedzie w

dowodzie.

Literatura:

1. J. Browkin, Teoria Reprezentacji Grup Skonczonych, PWN Warszawa, 2010.

2. C.W. Curtis, I. Reiner Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, Interscience

Publ. 1962.

3. K. Erdmann, M.J. Wildon, Introduction to Lie Algebras, Springer, 2006.

4. J.E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag, 1980.

5. Y.T. Lam, A First Course in Noncommutative Rings , Springer-Verlag, 1991.

6. Y.T. Lam, Exercises in Classical Ring Theory, Springer-Verlag, 2003.

7. R.S. Pierce, Associative Algebras, Springer-Verlag, 1982.

8. J.-P. Serre, Reprezentacje Liniowe grup skonczonych. PWN, Warszawa 1998.

Efekty kształcenia:

1. Zna pojecia algebry, ideału, modułu i podmodułu nad algebra, a takze podstawowe konstrukcje algebr

i modułów. Zna pojecie modułu prostego i półprostego oraz ich charakteryzacje. Potra opisywac

elementy ideałów i podmodułów generowanych przez zbiory oraz podawac rózne przykłady algebr.

2. Zna pojecie homomorzmów algebr i modułów oraz twierdzenia o izomorzmie i zanurzania algebr

w algebry macierzy oraz lemat Schura.

3. Zna pojecie radykału algebry i algebry półprostej oraz twierdzenia Wedderburna i Maschke. Potra

opisac strukture skonczenie wymiarowych modułów nad skonczenie wymiarowymi algebrami

półprostymi. Potra stosowac te pojecia i fakty do opisu struktury algebr skonczenie wymiarowych

i klasykacji algebr niskiego wymiaru;

4. Zna pojecie modułu nierozkładalnego, pojecie algebry lokalnej i zwiazek pomiedzy tymi pojeciami.

Zna twierdzenie Krulla-Schmidta.

5. Zna pojecie reprezentacji grup skonczonych i skonczenie wymiarowych algebr, reprezentacji nieprzywiedlnych

i całkowicie przywiedlnych, reprezentacji regularnej oraz charakteru reprezentacji.

Potra wyrazic pojecie reprezentacji grupy w jezyku modułu nad algebra grupowa tej grupy. Zna

twierdzenie o ortogonalnosci charakterów nieprzywiedlnych reprezentacji zespolonych grup skonczonych

oraz twierdzenie, ze reprezentacje zespolone grupy skonczonej, których charaktery sa sobie

równe, sa równowazne. Zna twierdzenie o rozwiazalnosci grup, których rzedy sa iloczynami poteg

dwóch liczb pierwszych;

6. Zna podstawowe twierdzenia dotyczace reprezentacji grup skonczonych nad ciałem liczb zespolonych

oraz zwiazki ich stopni oraz liczby reprezentacji nierównowaznych z odpowiednimi parametrami

grup i rozkładu algebr grupowych nad ciałem liczb zespolonych na iloczyn prosty algebr

macierzy. Potra wykorzystywac te twierdzenia do opisu algebr grupowych grup niskich rzedów;

7. Zna pojecie skonczenie wymiarowej algebry Lie’go i podstawowe przykłady takich algebr. Potra

opisac algebry Lie’go nad ciałem liczb zespolonych niskiego wymiaru. Zna pojecie radykału algebry

Lie’go i pojecia algebry prostej i półprostej i potra podac przykłady takich algebr. Zna pojecie

formy Killinga i potra je zastosowac do badania półprostosci skonczenie wymiarowych algebr

Lie’go nad ciałem liczb zespolonych. Zna pojecie reprezentacji algebry Lie’go. Zna pojecie algebry

obwiedniej i jej podstawowe własnosci, w tym twierdzenie Poincare-Birkhoa-Witta.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2018/19" (zakończony)

Okres: 2018-10-01 - 2019-01-25
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Andrzej Strojnowski
Prowadzący grup: Andrzej Strojnowski
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2019/20" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2019-10-01 - 2020-01-27
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Jerzy Matczuk
Prowadzący grup: Jerzy Matczuk
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.