Modele matematyczne biologii i medycyny

fakultatywne

Równania różniczkowe zwyczajne I (potok I) 1000-114aRRZa

Wykład dotyczy szeroko pojetego modelowania matematycznego w biologii i medycynie. Jego podstawe stanowią modele ekologiczne, budowne na bazie równan różniczkowych i różnicowych, teorii grafów i teorii gier, poszerzone o modele reakcji odpornoociowej i podstawy klasycznej genetyki (teoria Mendla) w kontekście łancuchów Markowa.

Wykład dotyczy szeroko pojetego modelowania matematycznego w biologii i medycynie. Jego podstawe stanowią modele ekologiczne, budowne na bazie równan różniczkowych i różnicowych, teorii grafów i teorii gier, poszerzone o modele reakcji odpornoociowej i podstawy klasycznej genetyki (teoria Mendla) w kontekście łancuchów Markowa.

Proste modele ekologiczne z czasem ciągłym i dyskretnym. Proces urodzin i śmierci (czas dyskretny i ciągły). Proces urodzin i śmierci z migracją (czas dyskretny i ciągły). Proces wzrostu ograniczonego (równanie logistyczne w wersji ciągłej, porównanie z wersją dyskretną). Procesy z uwzględnieniem wieku (macierze Lesliego w wersji dyskretnej i modele z opóźnieniem -- równanie logistyczne -- w wersji ciągłej). (2-3 wykłady)

Układ drapieżca -- ofiara. Model Lotki -- Volterry (efekt średniej i odławiania). Modele z kryjówkami i ograniczoną pojemnością środowiska dla ofiar (efekt stabilizacji). Model Kołmogorowa (cykle graniczne). (2 wykłady)

Układ konkurujących gatunków. (1 wykład)

Model Nicholsona-Bailey'a (parazytoid - ofiara). Proste modele epidemiologiczne (model SIS, model Kermacka - Mc Kendricka) (1--2 wykłady).

Model systemu immunologicznego. (1 wykład)

Teoria grafów a łańcuchy pokarmowe. (2 wykłady)

Łańcuchy Markowa i teoria Mendla. (2 wykłady)

Teoria gier i pojęcie strategii ewolucyjnie stabilnej. Modele reakcji - dyfuzji (2 wykłady)

Modele mikroskopowe i modele makroskopowe (1 wykład)

F.Roberts. Discrete mathematical models with applications to social, biological and environmental problems. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1976

Horst R. Thieme, Mathematics in Population Biology, Princeton University Press 2003

Nicolas Bacaër, A Short History of Mathematical Population Dynamics, Springer London 2011

Karl Peter Hadeler, Topics in Mathematical Biology, Springer, Cham 2017

Fred Brauer, Carlos Castillo-Chavez, Mathematical Models in Population Biology

and Epidemiology, Springer New York 2012

J. Banasiak, INTRODUCTION TO MATHEMATICAL METHODS IN POPULATION THEORY

J. Banasiak, M. Lachowicz, Methods of Small Parameter in Mathematical Biology,

Birkhäuser Basel 2014

Fred Brauer, Carlos Castillo-Chavez, Zhilan Feng, Mathematical Models in Epidemiology, Springer New York

Wiedza i umiejętności:

1. potrafi opisać w języku równań różniczkowych i różnicowych podstawowe procesy populacyjne, takie jak rozrodczość, śmiertelność, migracje, konkurencja;

2. umie przeanalizować dynamikę rozwiązań pojedynczego równania różniczkowego i sformułować odpowiednie wnioski dotyczące opisywanej populacji (bądź innego procesu biologicznego);

3. umie przeanalizować dynamikę pojedynczego równania różnicowego (metody analityczna i graficzna) i sformułować odpowiednie wnioski dotyczące opisywanej populacji (bądź innego procesu biologicznego);

4. rozumie różnice w dynamice rozwiązań pojawiające się w wyniku zastosowania różnego typu opisu matematycznego, konkretnie: równania różniczkowego albo różnicowego, potrafi opisać te różnice na przykładzie równania logistycznego;

5. wie, w jaki sposób opóźnienie może wpływać na dynamikę populacji;

6. potrafi opisać różnego typu oddziaływania między populacjami w języku równań różniczkowych zwyczajnych;

7. na podstawie analizy portretu fazowego dwóch równań różniczkowych zwyczajnych umie opisać zmiany dynamiki populacji w czasie;

8. rozumie różnicę między stabilnością lokalną a globalną i wynikające stąd biologiczne konsekwencje;

9. wie co to jest łańcuch pokarmowy, potrafi go opisać w języku teorii grafów;

10. wie co to jest status troficzny, potrafi go policzyć dla danego gatunku w danym łańcuchu pokarmowym;

11. rozumie, co opisuje dyfuzja w przypadku modeli dynamiki populacji i dla modeli reakcji biochemicznych;

12. potrafi sprawdzić, czy w danym modelu pojawia się niestabilność dyfuzyjna i wyjaśnić, jakie są tego biologiczne konsekwencje;

13. umie opisać proste oddziaływania między dwoma gatunkami w języku teorii gier.

Kompetencje społeczne:

rozumie znaczenie modelowania matematycznego w wyjaśnianiu zjawisk przyrodniczych.

system punktów z ćwiczeń i pisemny egzamin