Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Topologia algebraiczna

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-135TA Kod Erasmus / ISCED: 11.163 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Topologia algebraiczna
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty fakultatywne dla studiów 2 stopnia na matematyce
Przedmioty fakultatywne na matematyce
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Kierunek podstawowy MISMaP:

fizyka
informatyka
matematyka

Rodzaj przedmiotu:

fakultatywne

Założenia (lista przedmiotów):

Algebra I (potok 1) 1000-113bAG1a
Analiza matematyczna II.1 (potok 1) 1000-113bAM3a
Analiza matematyczna II.2 (potok 1) 1000-114bAM4a
Geometria z algebrą liniową I (potok I) 1000-111bGA1a
Geometria z algebrą liniową II (potok I) 1000-112bGA2a
Topologia I (potok 1) 1000-113bTP1a

Założenia (opisowo):

Podążenie za materiałem ułatwi znajomość podstawowych własności homotopii oraz przestrzeni nakrywających, zawartych w przedmiocie Topologia II (1000-134TP2). Zagadnienia dotyczące homologii będą w zasadzie omówione powtórnie.

Skrócony opis:

Grupy homotopii. Korozwłóknienia i rozwłóknienia. Ciąg dokładny grup homotopii rozwłóknienia. Aksjomaty teorii (ko-)homologii. Homologie singularne. Stopień odwzorowań sfer. Homologie komórkowe. Kohomologie de Rhama i tw. de Rhama. Struktury multyplikatywne (ko-)homologii singularnych. Orientacja rozmaitości topologicznych i twierdzenia o dualności. Indeks przecięcia i zaczepienia podrozmaitości.

Pełny opis:

1. Homotopia – przypomnienie podstawowych pojęć. Własność rozszerzania homotopii (rozwłóknienia) i własność podnoszenia homotopii (korozwłóknienia). Grupy homotopii i ciąg dokładny rozwłóknienia. Rozwłóknienie Hopfa. Doklejanie komórek. Przestrzenie Eilenberga-MacLane’a.

2. Aksjomaty teorii (ko-)homologii. Homologie singularne. Metoda modeli acyklicznych. Ciag Mayera-Vietorisa. Kohomologie de Rhama i tw. de Rhama.

3. Stopień przekształcenia i klasyfikacja homotopijna odwzorowań S^k -> S^n dla k < n+1.

4. CW-kompleksy i (ko-)homologie komórkowe.

5. Twierdzenie Eilenberga-Zilbera i struktury multyplikatywne (ko-)homologii. Niezmiennik Hopfa.

6. Homologiczna i geometryczna orientacja rozmaitości. Twierdzenia o dwoistości (Poincarégo, Alexandera, Lefschetza). Geometryczna i homologiczna interpretacja indeksu przeciecia i indeksu zaczepienia podrozmaitosci. Tw. Lefschetza o punktach stałych.

Literatura:

1. G. Bredon, Topology and Geometry, Graduate Texts in Mathematics 139, Springer Verlag, New York

1993

2. Fulton, W. Algebraic Topology. A First Course. GTM 153. Springer

3. Greenberg, M.J., Harper, J.R. Algebraic Topology. A First Course.

4. Hatcher, A. Algebraic Topology, Cambridge University Press, Cambridge 2002

5. May J.P. , A Concise Course in Algebraic Topology. Chicago Lecture Notes in Mathematics, The

University of Chicago and London, 1999

6. E. Spanier, Algebraic Topology, McGraw-Hill (przekład polski)

Efekty kształcenia:

Absolwent przedmiotu powinien:

• umieć sformułować pojęcia i twierdzenia wchodzące do programu oraz wyjaśnić je na podstawie przykładów geometrycznych;

• umieć podać dowody wybranych twierdzeć i dokonywać obliczeń niezmienników homologicznych;

• dostrzegać związki niezmienników rozmaitości definiowanych homologicznie i różniczkowo.

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2018/19" (zakończony)

Okres: 2019-02-16 - 2019-06-08
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Stefan Jackowski
Prowadzący grup: Stefan Jackowski
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2019/20" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2020-02-17 - 2020-06-10
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: (brak danych)
Prowadzący grup: (brak danych)
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.