Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Teoria liczb

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-135TL Kod Erasmus / ISCED: 11.123 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Teoria liczb
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty fakultatywne dla studiów 2 stopnia na matematyce
Przedmioty fakultatywne na matematyce
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

fakultatywne

Skrócony opis:

Podstawowy wykład z teorii liczb. W pewnych miejscach posiłkuje się podstawowymi pojęciami i faktami z algebry abstrakcyjnej. Z drugiej strony motywuje dodatkowo te pojęcia.

Pełny opis:

1. Wprowadzenie liczb naturalnych, podstawy teorii, Aksjomaty Peano,

2. Liczby całkowite Z i ich podstawowe własności (w tym algorytm Euklidesa oraz tak zwane podstawowe twierdzenie arytmetyki),

3. Kongruencje, pierścienie ilorazowe Zm i ich podstawowe własności z zastosowaniami (tw. Wilsona, Eulera, Fermata),

4. Liczby pseudopierwsze, kryterium Millera-Rabina,

5. Zastosowania do kryptografii (podpis elektroniczny),

6. Liniowe równania diofantyczne,

7. Przedstawianie liczb pierwszych w postaci x2+dy2

8. Kwadratowe prawo wzajemności i jego konsekwencje,

9. Klasyczne problemy Teorii liczb: Wielkie twierdzenie Fermata hipoteza

Goldbacha, problem Waringa, dzeta-funkcja i hipoteza Riemanna,

10. Twierdzenie o liczbach pierwszych,

11. Wstęp do ogólnej teorii elementów całkowitych i rozszerzeń całkowitych,

12. Pierścienie liczb całkowitych w skończonych rozszerzeniach ciała liczb

wymiernych, istnienie bazy całkowitej, pierścienie Dedekinda,

13. Rozkłady ideałów w pierścieniach Dedekinda,

14. Pierścienie liczb całkowitych w rozszerzeniach kwadratowych. pierścienie

Euklidesowe, zastosowania do rozwiązywania równań diofantycznych.

15. Pierścienie liczb całkowitych w rozszerzeniach cyklotomicznych, związek z Wielkim twierdzeniem Fermata

16. Elementy odwracalne w pierścieniach liczb całkowitych rozszerzeń kwadratowych, równanie Pella. Informacja o twierdzeniu Dirichleta

Efekty kształcenia:

1. Student zna podstawowe fakty i pojęcia związane z zasadniczym twierdzeniem arytmetyki; zna uogólnienia tego twierdzenia na przypadek pierścieni liczb całkowitych ciał liczbowych.

2. Student zdaje sobie sprawę z fundamentalnego znaczenia liczb pierwszych w matematyce i zna historię badań nad ich rozmieszczeniem; potrafi sformułować i udowodnić twierdzenie Czebyszewa lub Hadamarda-Poussena o liczbach pierwszych.

3. Student zna pojęcie kongruencji w pierścieniu liczb całkowitych i postrzega je na tle rozwoju algebry abstrakcyjnej; potrafi stosować podstawowe fakty i twierdzenia (małe twierdzenie Fermata, twierdzenie Eulera, twierdzenie Wilsona); rozumie znaczenie teorii kongruencji dla współczesnej kryptografii.

4. Student potrafi rozwiązywać najprostsze równania diofantyczne (w szczególności dowodzić, że dane równanie nie ma rozwiązań); umie wykorzystywać w tym celu własności pierścieni liczb całkowitych w ciałach liczbowych.

5. Student zna prawo wzajemności dla reszt kwadratowych i potrafi je stosować.

6. Student zna najsłynniejsze otwarte problemy teorii liczb; potrafi rozeznać ich znaczenie w samej teorii liczb i w szerszym kontekście (matematycznym i kulturowym).

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2018/19" (zakończony)

Okres: 2019-02-16 - 2019-06-08
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Jacek Pomykała
Prowadzący grup: Jacek Pomykała
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2019/20" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2020-02-17 - 2020-06-10
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Jacek Pomykała
Prowadzący grup: Jacek Pomykała
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.