Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Wstęp do geometrii różniczkowej

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-135WGR Kod Erasmus / ISCED: (brak danych) / (brak danych)
Nazwa przedmiotu: Wstęp do geometrii różniczkowej
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty fakultatywne dla studiów 1 stopnia na matematyce
Przedmioty fakultatywne na matematyce
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Kierunek podstawowy MISMaP:

fizyka
informatyka
matematyka

Rodzaj przedmiotu:

fakultatywne

Założenia (opisowo):

Algebra liniowa, rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych, podstawy topologii

Tryb prowadzenia:

mieszany: w sali i zdalnie

Skrócony opis:

Podstawowe pojęcia geometrii różniczkowej: podrozmaitości przestrzeni euklidesowych i wektory styczne; krzywe i metoda ruchomego reperu. Wzory Freneta-Serreta - krzywizna i torsja krzywych. Powierzchnie w przestrzeni 3-wymiarowej, I i II forma podstawowa; krzywizny główne i krzywizna Gaussa. Theorema egregium i geometria wewnętrzna powierzchni. Krzywe geodezyjne na powierzchniach. Pochodna kowariantna i przeniesienie równoległe. Twierdzenie Gaussa-Bonneta. Abstrakcyjne rozmaitości Riemanna; płaszczyzna hiperboliczna.

Pełny opis:

1. Podrozmaitości przestrzeni euklidesowych, parametryzacje, twierdzenie o rzędzie (przypomnienie). Przestrzenie wektorów stycznych; przekształcenia gładkie i ich pochodna (różniczka). Bazy przestrzeni stycznych wyznaczane przez parametryzacje (mapy). Przykład podrozmaitości: grupa ortogonalna. Przekształcenia rozmaitości, których różniczka zachowuje iloczyn skalarny (izometrie wewnętrzne). Izometrie przestrzeni euklidesowych (przypomnienie).

2. Metoda ruchomego reperu. Krzywe w przestrzeniach euklidesowych, ze szczególnym uwzględnieniem wymiarów 2 i 3. Równania Freneta-Serreta (jako zastosowanie metody ruchomego reperu); twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności krzywej o zadanych krzywiznach. Twierdzenie Hopfa o indeksie zamkniętej krzywej płaskiej (Umlaufsatz), ew. bez dowodu.

3. Zorientowane powierzchnie w 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Reper Darboux krzywej na powierzchni - krzywizna normalna i geodezyjna, skręcenie geodezyjne (zastosowanie metody ruchomego reperu). Krzywe geodezyjne. Geometryczna interpretacja krzywizny normalnej jako krzywizny przekroju. Odwzorowanie Weingartena; krzywizny główne, krzywizna Gaussa i krzywizna średnia. I i II forma podstawowa oraz ich macierze w bazach wyznaczonych przez parametryzację. (3 wykłady)

4. Geometria wewnętrzna powierzchni. Symbole Christoffela i ich wyrażenie w terminach współczynników I formy podstawowej. Theorema egregium. Równania krzywych geodezyjnych w terminach symboli Christoffela. Istnienie parametryzacji półgeodezyjnej i własność minimalności geodezyjnych. Powierzchnie o stałej krzywiźnie Gaussa (trójkąty geodezyjne).

5. Pola wzdłuż krzywych gładkich na powierzchniach i ich pochodna kowariantna. Pola równoległe i przeniesienie równoległe wektorów stycznych. Interpretacja całki krzywizny Gaussa w terminach przeniesienia równoległego po brzegu obszaru. Lokalna wersja tw. Gaussa-Bonneta. Wersja globalna (ewentualnie bez dowodu).

6. Abstrakcyjna metryka Riemanna na podzbiorach otwartych przestrzeni afinicznej. Długość krzywej i miara wyznaczona przez metrykę Riemanna oraz inne pojęcia geometrii wewnętrznej (np. geodezyjne). Modele płaszczyzny hiperbolicznej (ew. związki z analizą zespoloną).

Literatura:

1. C. Bowszyc, J. Konarski, Wstęp do geometrii różniczkowej, Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, Warszawa 2016.

2. 6. M. Do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces. Revised & updated second edition, Dover Publications, Inc., Mineola 2016.

3. A. Gray, E. Abbena, S. Salamon, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica. Third Edition, Studies in Advanced Mathematics. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton 2006.

4. S. Jackowski, Geometria różniczkowa. Pomocnik studenta, Skrypt MIM UW, Warszawa 2018. – dostęp ze strony www autora.

5. W. Klingenberg, A course in differential geometry, Springer-Verlag, New York-Heidelberg 1978.

6. S. Montiel, A. Ros, Curves and surfaces. Second edition, Graduate Studies in Mathematics 69, American Mathematical Society, Providence; Real Sociedad Matemática Espanola, Madrid 2009.

7. J. Oprea, Geometria różniczkowa i jej zastosowania, PWN, Warszawa 2002.

Efekty kształcenia:

1. Rozumie pojęcie podrozmaitości w przestrzeniach euklidesowych, geometryczne znaczenie wektora stycznego oraz pochodnej (różniczki) odwzorowania między podrozmaitościami.

2. Rozumie geometryczny sens parametryzacji krzywej jej długością oraz pojęcia krzywizny i torsji krzywej przestrzennej. Rozumie geometryczny sens twierdzenia Umlaufsatz.

3. Rozumie różnicę między geometrycznymi własnościami wewnętrznymi i zewnętrznymi podrozmaitości przestrzeni euklidesowych. Rozumie geometryczny sens odwzorowania Weingartena zorientowanej powierzchni.

4. Potrafi wskazać na powierzchni punkty o dodatniej, ujemnej i zerowej krzywiźnie Gaussa oraz wie, że krzywizna Gaussa jest niezmiennikiem geometrii wewnętrznej.

5. Zna geometryczną interpretację geodezyjnych na powierzchniach i wie, że są one zachowywane przy izometriach wewnętrznych.

6. Potrafi wskazać przykłady przeniesienia równoległego wektorów wzdłuż krzywych.

7. Zna przykłady powierzchni o stałej krzywiźnie oraz własności trójkątów geodezyjnych na tych powierzchniach.

8. Rozumie geometryczny sens lokalnego twierdzenia Gaussa-Bonneta i topologiczny sens globalnego twierdzenia Gaussa-Bonneta (oraz analogię z twierdzeniem Hopfa).

9. Zna przykłady powierzchni z abstrakcyjną metryką Riemanna (w szczególności modele geometrii hiperbolicznej na kole i półpłaszczyźnie).

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2018/19" (zakończony)

Okres: 2018-10-01 - 2019-01-25
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Stefan Jackowski
Prowadzący grup: Stefan Jackowski
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2019/20" (w trakcie)

Okres: 2019-10-01 - 2020-01-27
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Stefan Jackowski
Prowadzący grup: Stefan Jackowski
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.