Analiza matematyczna i układy dynamiczne

proseminaria

Celem proseminarium jest:

1) wprowadzenie w wybrane zagadnienia analizy matematycznej, które nie były omawiane podczas kursowego wykładu,

2) wprowadzenie w podstawowe zagadnienia układów dynamicznych i teorii ergodycznej.

Współczesna analiza matematyczna to bardzo obszerny dział matematyki, dostarczający narzędzi i metod m.in. równaniom różniczkowym cząstkowym oraz rachunkowi wariacyjnemu, a także układom dynamicznym (patrz niżej). W ramach proseminarium planujemy omówienie różnych tematów, poszerzających zagadnienia omawiane podczas wykładów na 1-2 roku - m.in. szeregi Fouriera, funkcje Lipschitzowskie i ich własności, krzywe i powierzchnie wypełniające przestrzeń, zastosowania metody kategorii. Istnieje możliwość dostosowania tematyki części referatów do zainteresowań i preferencji słuchaczy.

Układy dynamiczne i związana z nimi teoria ergodyczna to ważne dziedziny współczesnej matematyki. Powstały przy badaniach zachowania rozwiązań układów równań różniczkowych o skomplikowanych rozwiązaniach (np. zagadnienie trzech ciał). Matematycy iterowali też funkcje wtedy, gdy chcieli znaleźć przybliżenia pierwiastków wielomianu, np. przy pomocy metody Newtona. Najogólniej mówiąc, chodzi tu o badanie ewolucji różnych układów w czasie, ze szczególnym uwzględnieniem własności stochastycznych oraz geometrii zbiorów granicznych i niezmienniczych. Wykorzystywane są metody z wielu gałęzi matematyki (m.in. rachunku prawdopodobieństwa, analizy funkcjonalnej, analizy zespolonej, topologii algebraicznej). Układy dynamiczne znajdują liczne zastosowania w naukach przyrodniczych.

W Polsce tą problematyką zajmuje się od wielu lat z sukcesem kilka grup badawczych, m.in. na naszym Wydziale, oraz w IMPAN, na Politechnice Warszawskiej, a także w Gdańsku, Krakowie, Toruniu i Wrocławiu .

W ramach proseminarium zamierzamy przedstawić podstawowe idee i pojęcia układów dynamicznych i teorii ergodycznej (m.in. zbiór graniczny, stabilność, atraktor, repeller, entropia, ergodyczność) ilustrując je licznymi, elementarnymi przykładami (homeomorfizmy okręgu, automorfizmy torusa, dynamika ułamków łańcuchowych, fraktale, zbiory Julii). Będziemy używać wyłącznie metod dostępnych dla studentów po drugim roku studiów.

L. Barreira, C. Valls, Dynamical Systems. An Introduction, Springer-Verlag, London, 2013.

R. Devaney, An introduction to chaotic dynamical systems, third edition, CRC Press, Boca Raton, 2022.

S. Fomin, I. Kornfeld, J. Sinaj, Teoria ergodyczna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1987.

I. Gelfand, S. Fomin, Rachunek wariacyjny, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1975.

B. Hasselblatt, A. Katok, A first course in dynamics, Cambridge University Press, Cambridge 2003.

J. Milnor, Morse Theory, Princeton Iniversity Press, 1963.

M. Pollicott, M. Yuri, Dynamical systems and ergodic theory, London Mathematical Society Student Texts, 40, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

F. Przytycki, M. Urbański, Conformal fractals. Ergodic theory methods, London Mathematical Society Lecture Note Series 371, Cambridge University Press, Cambridge, 2010.

C. Robinson, Dynamical systems. Stability, symbolic dynamics and chaos, Second edition, CRC Press, Boca Raton, 1999.

W. Szlenk, Wstęp do teorii gładkich układów dynamicznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1982.

P. Walters, An introduction to ergodic theory, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982.

Zdobycie wiedzy o zagadnieniach analizy, wykraczających poza standardowy materiał lat 1-2: m.in. funkcje Lipschitzowskie i ich przedłużanie / różniczkowalność p.w., szeregi Fouriera, miara i wymiar Hausdorffa, związki z geometryczną teorią miary etc.

Zdobycie podstawowej wiedzy o układach dynamicznych i teorii ergodycznej. Umiejętność analizy prostych układów dynamicznych pod względem geometrycznym i stochastycznym.

Regularna obecność na zajęciach. Przygotowanie i wygłoszenie co najmniej jednego referatu w ciągu każdego semestru.