Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Klasy charakterystyczne wiązek wektorowych i ich zastosowania

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M19KCW Kod Erasmus / ISCED: 11.1 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Klasy charakterystyczne wiązek wektorowych i ich zastosowania
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla IV - V roku matematyki
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Kierunek podstawowy MISMaP:

fizyka
matematyka

Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Założenia (lista przedmiotów):

Topologia algebraiczna 1000-135TA

Założenia (opisowo):

Znajomość singularnej teorii (ko-)homologii lub kohomologii de Rhama.

Skrócony opis:

Wiązki wektorowe i ich homotopijna klasyfikacja. Aksjomaty klas charakterystycznych i dowód ich istnienie przy pomocy zasady

rozszczepiania zaś dla wiązek rzeczywistych także kwadratów Steenroda. Interpretacja klas charakterystycznych jako przeszkód do

istnienia przekrojów wiązek. Zastosowania klas charakterystycznych do problemów geometrycznych m.in. badania zanurzalności

rozmaitości w przestrzenie euklideoswe i paralelyzowalności rozmaitości gładkich. Liczby charakterystyczn i bordyzm rozmaitości.

Pełny opis:

1. Rzeczywiste i zespolone wiązki wektorowe; przeniesienie konstrukcji z algebry liniowej. Pull-back. Grupa strukturalna wiązki

wektorowej. Orientowalność. Metryka Riemanna. Wiązki styczne i normalne. Wiązka kanoniczna.

2. Klasyfikacja homotopijna wiązek wektorowych. Izomorfizm grupy wiązek 1-wymiarowych i grup kohomologii.

3. Uogólnione multypliktywne teorie kohomologii. Tw. Leray-Hirscha. Orientacja wiązek. Równoważność geometrycznej i kohomologicznej

definicji orientowalności. Complex oriented cohomology

4. Aksjomatyczna definicja klas charakterystycznych wiązek.

5. Konstrukcja klas charakterystycznych Stiefela-Whitneya i Cherna przez zasadę rozszczepiania. Klasy Pontriagina.

6. Operacje kohomologiczne. Kwadraty Steenroda. Klasy SW przez kwadraty Steenroda. Klasy SW rozmaitości topologicznych.

7. Teoria przeszkód i interpretacja klas Stiefela-Whitneya i Cherna w tych terminach.

8. Klasy Cherna w kohomologiach de Rhama (info)

9. Zastosowania geometryczne klas charakterstycznych: twierdzenia o zanurzaniu rozmaitości w przestrzeń euklidesową;

paralelyzowalność orientowalnych, zamkniętych rozmaitości 3-wymiarowych.

10. Liczby charakterystyczne i genusy. Bordyzm rozmaitości. Twierdzenie Hirzebrucha o sygnaturze

Literatura:

Robert R. Bruner, Michael Catanzaro, J. Peter May Characteristic classes. 1974

Ralph L. Cohen The Topology of Fiber Bundles. Lecture Notes, Dept. of Mathematics, Stanford University. 1998

E. Dyer, Cohomology theories, Lecture Note Series, W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969

D. Husemoller Fiber Bundles. Third Edition. Graduate Texts in Mathematics 20. Springer 1993

Ib Madsen Lectures on Characteristic Classes in Algebraic Topology. 1986

John Milnor & James D. Stasheff Characteristic Classes. Annals of Mathematics Studies 76, Princeton University Press.

Robert M. Switzer, Algebraic topology— homotopy and homology. Die Grundlehren der math. Wissenschaften, Band 212, Springer-

Verlag, Berlin, 1975

Efekty uczenia się:

1. Znajomość pojęcia wiązki wektorowej, podstawowych konstrukcji oraz klasyfikacji homotopijnej wiązek. Znajomość rzeczywistych i

zespolonych rozmaitości Grassmanna oraz ich pierścienia kohomologii.

2. Zrozumienie zasady rozszczepiania i konstrukcji klas charakterystycznych.

3. Umiejętność zinterpretowania klas charakterystycznych jako przeszkód do istnienia przekrojów.

4. Znajomość kwadratów Steenroda i wyrażenia klas charakterystycznych przy ich pomocy.

5. Umiejętność policzenia klas charakterystycznych przykładów wiązek oraz zastosowania ich do rozwiązywania zadań dotyczących własności geometrycznych i topologicznych rozmaitości gładkich.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2019/20" (w trakcie)

Okres: 2019-10-01 - 2020-01-27
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia więcej informacji
Wykład więcej informacji
Koordynatorzy: Stefan Jackowski
Prowadzący grup: Agnieszka Bojanowska-Jackowska, Stefan Jackowski
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.