Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Górne i dolne szacowania dla procesów stochastycznych

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M20GDS Kod Erasmus / ISCED: 11.1 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Górne i dolne szacowania dla procesów stochastycznych
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Skrócony opis:

Wykład odnosi się do nowoczesnych metod badania regularności trajektorii procesów stochastycznych. W spektrum takich metod znajdują się: minoryzacja Sudakowa, koncentracja miary oraz metody łańcuchowe. Kluczowym twierdzeniem teorii jest pochodząca od Talagranda charakteryzacja ograniczoności procesów Gaussowskich. Dzięki temu wynikowi można badać klasę procesów kanonicznych o wykładniczo zanikających ogonach. Teoria będzie uzupełniona o różne zastosowania w geometrii i analizie funkcjonalnej.

Pełny opis:

1. Ośrodkowość procesów. Charakteryzacja ograniczoności dla klasy procesów o odpowiednio regularnych przyrostach w terminach skończoności wartości oczekiwanej supremum procesu.

2. Warunek dostateczny na brak nieciągłości drugiego rodzaju dla procesów na odcinku.

3. Twierdzenie Kołmogorowa-Slutsky’ego - warunek dostateczny na istnienie ciągłej modyfikacji dla procesów.

4. Twierdzenie o miarach majoryzujących - najlepsze oszacowanie wartości oczekiwanej supremum dla ogólnych procesów stochastycznych o odpowiednio regularnych przyrostach w terminach geometrii zbioru indeksów.

5. Najlepsze oszacowanie dolne na wartość oczekiwaną dla klasy procesów stochastycznych o odpowiednio regularnych procesów.

6. Zastosowanie do charakteryzacji zbieżności szeregów ortogonalnych o zadanej klasie współrzędnych.

7. Procesy Gaussowskie - Twierdzenie Talagranda dowodzone metodą Van-Handel’a

8. Zastosowanie do badania procesów zdefiniowanych na elipsoidach.

9. Zastosowanie do badania problemu równomiernego rozłożenia losowych punktów wybieranych w kwadracie.

10. Ogólna metoda schematu partycji - szacowania dolne dla procesów kanonicznych.

11. Badanie procesów Bernoulliego - ogólna minoryzacja Sudakowa, twierdzenie o porównywaniu, zasada kontrakcji,

12. Procesy kanoniczne, zasada kontrakcji - ostatecznie charakteryzacja ograniczoności procesów kanonicznych o wykładniczo malejących ogonach.

Literatura:

Literatura:

1. Skrypt - Chaining, W. Bednorz, 2021

2. Upper and lower bound for stochastic processes, M. Talagrand, 2014, Springer-Verlag.

3. Probability in Banach spaces, M. Ledoux, M. Talagrand, 2006, Springer.

4. Convergence of probability measures, P. Billingsley, 1999, Willey & Sons.

5. The theory of stochastic processes, I. Gihman, A. Skorohod, 1974, Springer-Verlag.

6. Concentration of probability measures, M. Ledoux, 2001, AMS.

Efekty uczenia się:

Efekty kształcenia:

Student:

1. wie na czym polega konieczność rozważania ośrodkowych modyfikacji.

2. wie jak badać własność cad-lag, potrafi pokazać, że każdy martyngał adaptowalny od prawostronnie ciągłej filtracji ma modyfikację cad-lag.

3. potrafi sformułować ideę metody łańcuchowej i zastosować ją do badania ograniczoności procesów.

4. zna sformułowanie Twierdzenia miarach majoryzujących.

5. zna sformułowanie problemu zbieżności szeregów ortogonalnych o zadanych współczynnikach i podstawowe twierdzenia (warunki dostateczne i konieczne).

6. wie co to jest lemat Slepiana i jak stosuje się go do wykazania minoryzacji Sudakowa.

7. zna zagadnienie badania procesów stochastycznych na elipsoidach.

8. zna problem równomiernego rozłożenia punktów losowych w kwadracie.

9. wie co to jest schemat partycji.

10. potrafi sformułować wynik o inoryzacji dla procesów Bernoulliego.

11. umie sformułować główne Twierdzenie o dekompozycji procesów Bernoulliego.

12. zna Twierdzenie o porównywaniu procesów Bernoulliego oraz zasadę kontrakcji.

13. potrafi sformułować warunek alpha-regularności.

14. potrafi oszacować momenty sum zmiennych symetrycznych zmiennych niezależnych alpha-regularnych ze współczynnikami.

15. wie jak dowodzi się minoryzacji dla procesów kanonicznych.

16. potrafi sformułować Twierdzenie o charakteryzacji ograniczoności dla ustalonego procesu kanonicznego alpha-regularnego.

Metody i kryteria oceniania:

ocena na podstawie pracy studenta w trakcie semestru i egzaminu

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2020/21" (zakończony)

Okres: 2020-10-01 - 2021-01-31
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Witold Bednorz
Prowadzący grup: Witold Bednorz
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.