Uniwersytet Warszawski - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

L^2-niezmienniki w topologii

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M23LNT
Kod Erasmus / ISCED: 11.1 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: L^2-niezmienniki w topologii
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia
Punkty ECTS i inne: 6.00 Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Pełny opis:

Liczby L^2 Bettiego wprowadził M. F. Atiyah. Dla danej przestrzeni topologicznej określają one wymiar jądra operatora Laplace’a-Beltramiego, lub równoważnie, wymiar pewnej grupy kohomologii tej przestrzeni o współczynnikach w przestrzeni Hilberta. Wymiar ten liczony jest przy pomocy śladu na odpowiedniej algebrze von Neumanna. Liczby L^2 Bettiego zachowują się podobnie do klasycznych liczb Bettiego, np. są niezmiennikami topologicznymi, jednak niosą innego rodzaju informacje.

Celem kursu będzie wprowadzenie do teorii L^2 niezmienników. Omówiony zostanie klasyczny rozkład Hodge’a-de Rhama w L^2-kohomologiach, algebra von Neumana grupy oraz ślad na niej i wymiar von Neumanna. Następnie wprowadzone zostaną liczby L^2 Bettiego CW-kompleksów, ich podstawowe własności oraz liczby L^2-Bettiego grup dyskretnych. Udowodnione zostanie twierdzenie Cheegera-Gromova o znikaniu liczb L^2-Bettiego dla grup ze średnią.

Przedstawione zostaną klasyczne zastosowania L^2 niezmienników (do mapping torusów, defektu grup, własności co-Hopfa itp.)

Głównym celem wykładu jest udowodnienie twierdzenia Lücka o aproksymacji, mówiącego o tym, że liczby L^2-Bettiego są granicami klasycznych liczb L^2-Bettiego dla pewnych rodzin podgrup skończonego indeksu.

Na koniec przedstawiona zostanie hipoteza Atiyi, pewne przykłady o niewymiernych liczbach L^2-Bettiego oraz L^2-torsja.

Literatura:

1) H. Kammeyer, Introduction to l^2 invariants, Springer LNM 2247, 2019.

2) W. Lück, L^2-Invariants: Theory and Applications to Geometry and K-Theory (A Series of Modern Surveys in Mathematics, 44), 2002.

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2023/24" (w trakcie)

Okres: 2024-02-19 - 2024-06-16
Wybrany podział planu:
Przejdź do planu
Typ zajęć:
Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Piotr Nowak
Prowadzący grup: Piotr Nowak
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.
Krakowskie Przedmieście 26/28
00-927 Warszawa
tel: +48 22 55 20 000 https://uw.edu.pl/
kontakt deklaracja dostępności USOSweb 7.0.1.0-2 (2024-02-19)