Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Geometria z algebrą liniową II*

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-112bGA2* Kod Erasmus / ISCED: 11.101 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Geometria z algebrą liniową II*
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty obowiązkowe dla I roku JSIM
Przedmioty obowiązkowe dla I roku matematyki
Punkty ECTS i inne: 10.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Rodzaj przedmiotu:

obowiązkowe

Pełny opis:

Program taki jak w potokach I i II, ale przedstawiony w sposób bardziej pogłębiony.

1. Endomorfizmy przestrzeni liniowych. Macierz endomorfizmu w bazie, zależność od bazy, macierze podobne (B = C^(-1)AC). Wyznacznik i ślad endomorfizmu. Wektory, podprzestrzenie i wartości własne. Wielomian charakterystyczny. Macierze diagonalne, endomorfizmy i macierze diagonalizowalne, kryteria diagonalizowalności. Twierdzenie Jordana o postaci kanonicznej macierzy endomorfizmu (bez dowodu). (4 wykłady).

2. Przestrzenie afiniczne w przestrzeniach liniowych - warstwy podprzestrzeni liniowych. Kombinacje afiniczne. Układy afinicznie niezależne, bazy punktowe. Współrzędne w bazie punktowej. Układy bazowe przestrzeni afinicznych (punkt i baza przestrzeni stycznej), parametryzacje. Przekształcenia afiniczne, odpowiadające im przekształcenia liniowe. Macierze przekształceń afinicznych (w układach bazowych). Izomorfizmy przestrzeni afinicznych. Każda n-wymiarowa przestrzeń afiniczna nad K jest izomorficzna z przestrzenią afiniczną K^n. Aksjomatyczna definicja przestrzeni afinicznej. (4 wykłady).

3. Funkcjonały (formy) liniowe, przestrzenie sprzężone (dualne). Bazy sprzężone, współrzędne funkcjonału w bazie sprzężonej, izomorfizm przestrzeni skończenie wymiarowej w przestrzeń sprzężoną. Przekształcenia sprzężone, ich macierze w bazach sprzężonych. (2 wykłady).

4. Iloczyny skalarne. Nierówność schwarza. Przestrzenie euklidesowe liniowe. Dopełnienie prostopadłe podprzestrzeni. Rzuty i symetrie prostopadłe. Bazy prostopadłe (ortogonalne) i ortonormalne, współrzędne wektora w takich bazach. Ortogonalizacja Grama-Schmidta. Kryterium Sylvestera dodatniej określoności. Macierz Grama i jej własności (4 wykłady).

5. Przestrzenie euklidesowe afiniczne. Odległość punktów w przestrzeniach euklidesowych, odległość punktu od podprzestrzeni. Miary w przestrzeniach euklidesowych, objętości równoległościanów i sympleksów. Kąty. Orientacja. Iloczyn wektorowy. (2 wykłady).

6. Przekształcenia przestrzeni euklidesowych zachowujące iloczyn skalarny, izomorfizmy przestrzeni euklidesowych. Macierze ortogonalne. Izometrie. Przekształcenia samosprzężone. Diagonalizacja symetrycznych macierzy rzeczywistych za pomocą macierzy ortogonalnych. (3 wykłady).

7. Iloczyny hermitowskie. Izomorfizmy przestrzeni z formą hermitowską, macierze unitarne. (1 wykład).

8. Formy dwuliniowe, formy symetryczne. Macierz formy dwuliniowej w bazie, zależność od bazy, kongruencja macierzy (B = C^T AC, dla odwracalnej macierzy C). Formy nieosobliwe. Dopełnienie otrogonalne podprzestrzeni z formą nieosobliwą. Bazy prostopadłe. Każda skończenie wymiarowa przestrzeń z formą dwuliniową symetryczną nad ciałem charakterystyki różnej od 2 ma bazę prostopałą. Twierdzenie Sylvestera o bezwładności. Klasy kongruencji macierzy symetrycznych nad R i C. Formy kwadratowe i metody ich diagonalizacji. (3 wykłady).

9. Wielomiany i funkcje wielomianowe n zmiennych. Funkcje wielomianowe na przestrzeniach afinicznych. Zbiory algebraiczne, hiperpowierzchnie, stopień hiperpowierzchni. Hiperpowierzchnie afinicznie izomorficzne. Nad ciałem nieskończonym K charakterystyki różnej od 2, każdą hiperpowierzchnię stopnia 2 w K^n można opisać, w pewnym układzie bazowym, równaniem odpowiedniej postaci z r lub r+1 zmiennymi dla r<n. Klasyfikacja afiniczna hiperpowierzchni stopnia 2 w C^n i w R^n. Opis przypadków R^2 i R^3. Klasyfikacja izometryczna hiperpowierzchni stopnia 2 w R^n (bez dowodu) (4 wykłady).

Literatura:

Literatura:

A. I. Kostrikin, Wstęp do algebry

G. Banaszak, W. Gajda, Elementy algebry liniowej

A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią

T. Koźniewski, Wykłady z algebry liniowej

M. Moszyńska, J. Święcicka, Geometria z algebrą liniową

K. Sieklucki, Geometria i topologia

Efekty uczenia się:

W potoku z gwiazdką 1000-112bGA2* dodatkowo można omówić wybrane tematy z poniższej listy.

1. Elementy teorii kategorii (bardziej szczegółowo)

2. Iloczyn tensorowy, potęgi symetryczne i zewnętrzne

3. Przestrzenie i przekształcenia rzutowe

4. Klasyfikacja form kwadratowych, grupa Witta

5. Kwaterniony

6. Metryka Lorentza, grupa SO(1,3)

7. Zbiory wypukłe i wielościany

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2018/19" (zakończony)

Okres: 2019-02-16 - 2019-06-08
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 60 godzin więcej informacji
Wykład, 60 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Krzysztof Ziemiański
Prowadzący grup: Adrian Langer, Krzysztof Ziemiański
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2019/20" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2020-02-17 - 2020-06-10
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 60 godzin więcej informacji
Wykład, 60 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Krzysztof Ziemiański
Prowadzący grup: Maria Donten-Bury, Krzysztof Ziemiański
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.