Analiza matematyczna II.2 (potok *)

Rozmaitości zanurzone w R^n. Mapy (lokalne układy współrzędnych) i lokalne parametryzacje. Przestrzeń wektorów stycznych i przestrzeń wektorów normalnych. Rozmaitości zadane przez układ równań. (3--5 wykładów)

Miara Lebesgue'a--Riemanna na rozmaitościach zanurzonych w przestrzeni euklidesowej. Miara na rozmaitości (powierzchni) i jej motywacje (przykład Schwarza). Miara na wykresie funkcji. Miary sfery wielowymiarowej. Środek masy i twierdzenie Pappusa--Guldina. (4--6 wykładów)

Analiza wektorowa w R^3. Klasyczne wzory Greena, Gaussa--Ostrogradskiego (przykłady zagadnień fizycznych) i Stokesa. Interpretacje geometryczne dywergencji i rotacji. Zastosowania wzorów (np. funkcja harmoniczne). Informacja o ogólnym twierdzeniu Stokesa, informacja o twierdzeniu Stokesa na rozmaitości z brzegiem zawierającym osobliwości.. (5--7 wykładów)

1. Potrafi obliczać całki funkcji wielu zmiennych, stosując twierdzenia o zamianie kolejności całkowania i o całkowaniu przez podstawienie

2. Zna definicję miary powierzchniowej na rozmaitości gładkiej i własności tej miary. Potrafi obliczać pole powierzchni wykresu funkcji dwóch zmiennych oraz powierzchni opisanej parametrycznie.

3. Zna twierdzenie Greena, twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego o dywergencji i przykłady ich zastosowań (także o charakterze fizycznym). Stosuje wzory Greena i Gaussa-Ostrogradskiego w różnych zadaniach (także opisujących zagadnienia fizyczne bądź geometryczne).

4. Zna i potrafi zastosować w praktyce język form różniczkowych. Potrafi wykonywać operacje iloczynu zewnętrznego i różniczki zewnętrznej. Rozumie i potrafi wykorzystać własność funktorialności obu operacji. Potrafi całkować formy różniczkowe.

5. Zna i stosuje ogólne twierdzenie Stokesa dla form różniczkowych.

6. Wykorzystuje aparat form różniczkowych do konstruowania niezmienników topologicznych pewnych przestrzeni.