Algebra II *
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-134AG2* |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.122
|
Nazwa przedmiotu: | Algebra II * |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty fakultatywne dla studiów 1 stopnia na matematyce |
Punkty ECTS i inne: |
(brak)
|
Język prowadzenia: | polski |
Rodzaj przedmiotu: | fakultatywne |
Skrócony opis: |
Elementy teorii grup, teorii ciał, teorii modułów i teorii pierścieni nieprzemiennych. Teoria grup: grupy wolne, grupy rozwiązalne i produkty półproste grup. Teoria ciał: teoria Galois i jej zastosowania. Teoria modułów: struktura modułów skończenie generowanych nad dziedzinami ideałów głównych. Pierścienie nieprzemienne: algebry macierzy, algebry z dzieleniem, twierdzenie Frobeniusa, algebry wielomianów skośnych i algebry Weyla. |
Pełny opis: |
Program taki jak Algebry 2, ale przedstawiony w sposób bardziej pogłębiony. 1. Elementy teorii grup. i) Grupy wolne, prezentacje grup (zadawanie grup poprzez generatory i relacje) ii) Produkt półprosty grup. Ciąg dokładny, rozszczepialność. iii) Grupy rozwiązalne; komutant grupy, rozwiązalność grup S_n dla n < 5. iv) Grupy proste; prostota grup A_n, n > 4. (2-3 wykłady) 2. Elementy teorii ciał. i) Rozszerzenia ciał, grupa automorfizmów rozszerzenia. Rozszerzenie o pierwiastek wielomianu, ciało rozkładu wielomianu, rozszerzenia normalne, własność uniwersalna rozszerzenia normalnego. Rozszerzenia algebraiczne, algebraiczne domknięcie ciała - konstrukcja i jednoznaczność. Pierwiastki z jedności. Ciała o p^n elementach (istnienie). (2 wykłady) ii) Teoria Galois w przypadku charakterystyki zero i rozszerzeń skończonych. Wielomian nierozkładalny w charakterystyce 0 nie ma pierwiastków wielokrotnych. Twierdzenie Abela. Rozszerzenia Galois. Zasadnicze twierdzenie teorii Galois. (3 wykłady) iii) Zastosowania teorii ciał. Konstrukcje geometryczne (tylko łatwa implikacja: konstruowalność implikuje, że stopień rozszerzenia jest potęgą dwójki). Rozszerzenia rozwiązalne, rozwiązywanie równań przez pierwiastniki. (2 wykłady) 3. Elementy teorii modułów i) Moduły; suma prosta, moduły skończenie generowane, elementy torsyjne. ii) Homomorfizmy modułów, jądro, moduł ilorazowy, ciąg dokładny modułów, rozszczepialność. Moduły wolne. iii) Klasyfikacja skończenie generowanych modułów nad DIG. Wnioski: klasyfikacja skończenie generowanych grup abelowych oraz twierdzenie Jordana o postaci kanonicznej macierzy. (3 wykłady) 4. Elementy teorii pierścieni nieprzemiennych. i) Przykłady: pierścienie endomorfizmów przestrzeni liniowych, pierścienie macierzy, ideały jednostronne, pierścienie proste (na przykład macierze nad ciałem). ii) Pierścienie z dzieleniem, algebra kwaternionów Hamiltona; (ewentualnie zastosowania w ramach ćwiczeń -obroty w R3 jako kwaterniony). Twierdzenie Frobeniusa o algebrach z dzieleniem skończonego wymiaru nad R. iii) Algebra Weyla (w charakterystyce 0) – opis i interpretacja w języku algebry operatorów różniczkowych i algebry skośnych wielomianów; dowód rezultatu mówiącego, że jest to prosta dziedzina. (2-3 wykłady) Efekty kształcenia: 1. Student zna podstawowe pojęcia dotyczące algebraicznych rozszerzeń ciał i grup rozwiązalnych i umie się nimi posługiwać. 2. Student zna główne twierdzenia z zakresu teorii Galois i jej zastosowań do konstrukcji geometrycznych i do rozwiązywania równań algebraicznych. 3. Student zna podstawowe pojęcia teorii modułów nad pierścieniami oraz potrafi sformułować twierdzenie o opisie modułów skończenie generowanych nad dziedzinami ideałów głównych. 4. Student zna podstawowe pojęcia i ważne przykłady teorii pierścieni nieprzemiennych. 5. Student zna konstrukcje algebry kwaternionów Hamiltona, algebry Weila, algebry wielomianów skośnych i ich podstawowe własności. 6. Student umie wyznaczyć grupę Galois skończonego rozszerzenia ciał i umie ilustrować na przykładach zasadnicze twierdzenie teorii Galois w charakterystyce zero. Literatura A. Białynicki-Birula, Zarys algebry, Bibl. Mat. 63, PWN, 1987. J. Browkin, Teoria ciał, Bibl. Mat. 49, PWN, 1977. M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zadań z algebry, PWN, 1981. I. Kostrykin, Wstęp do Algebry 3. Podstawowe struktury algebraiczne, PWN, 2005. I. Kostrykin, Zadania z algebry, PWN, 2005. T.Y. Lam, A First Course in Noncommutative Rings, Springer, 1991. T.Y. Lam, Exercises in Classical Ring Theory, second edition, Springer, 2003. |
Literatura: |
A.Białynicki-Birula, Zarys algebry, Bibl. Mat. 63, PWN, Warszawa 1987. J. Browkin, Teoria ciał, Bibl. Mat. 49, PWN, Warszawa 1977. I. Kostrykin, Algebra I. Kostrykin, Zadania z algebry M.Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 1981 |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.