Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Geometria II

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-135GM2 Kod Erasmus / ISCED: 11.173 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Geometria II
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty fakultatywne dla studiów 1 stopnia na matematyce
Przedmioty fakultatywne na matematyce
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Kierunek podstawowy MISMaP:

matematyka

Rodzaj przedmiotu:

fakultatywne

Skrócony opis:

Inwersja, przekształcenia afiniczne oraz stożkowe w ujęciu czysto geometrycznym. Ogniska i kierownice stożkowych, własności izogonalne stożkowych, przekroje stożka obrotowego. Liczne zastosowania i geometryczne dowody najsłynniejszych twierdzeń m.in.: Gaussa-Bodenmillera, Brianchona, o motylku, Ponceleta (dla trójkąta), Feuerbacha, o łańcuchach Steinera, Newtona oraz formuł Kartezjusza, Eulera i Fussa.

Pełny opis:

1. Potęga punktu względem okręgu, oś potęgowa dwóch okręgów, środek potęgowy trzech okręgów, twierdzenie Brianchona, konstrukcja stycznej do okręgu samą linijką, okręgi współpękowe, twierdzenie Gaussa-Bodenmillera, twierdzenie o motylku, formuła Eulera na odległość między środkami okręgu opisanego i wpisanego (dla trójkąta), twierdzenie Ponceleta dla trójkąta.

2. Obrazy inwersyjne okręgów i prostych, konforemność inwersji, okręgi stałe inwersji, okręgi prostopadłe, zmiana odległości przy inwersji, twierdzenie Ptolemeusza, zmiana promienia okręgu przy inwersji, łańcuchy Steinera, formuła Kartezjusza, formuła Fussa dla czworokątów, twierdzenie Feuerbacha.

3. Ogniska elipsy i hiperboli, ognisko, kierownica i mimośród stożkowych, asymptoty hiperboli, konstrukcja stycznej do stożkowej, rzuty ustalonego ogniska na styczne, własności izogonalne stożkowych, równania kanoniczne stożkowych, elipsa jako przekrój walca. Ognisko, kierownica i mimośród stożkowej na przekroju stożka. Przekroje stożków ze sferami wpisanymi. Równanie ogólne stożkowej w układzie współrzędnych, duży i mały wyznacznik. Równania stożkowych we współrzędnych biegunowych.

4. Grupa przekształceń afinicznych od strony geometrycznej: powinowactwa osiowe, rozkład przekształcenia afinicznego na podobieństwo i powinowactwo osiowe, kierunki główne przekształcenia afinicznego, niezmienniczość stosunku pól przy przekształceniu afinicznym, obraz okręgu przy przekształceniu afinicznym

Literatura:

1. E. H. Askwith, D.D. A Course of Pure Geometry, Cambridge 1917.

2. H. Fukagawa, D. Pedoe, Japanese temple geometry problems. Sangaku, Charles Babbage Research Centre, Winnipeg 1989.

3. R. A. Johnson, Advanced Euclidean geometry: An elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle, Dover Publications, Inc., New York 1960.

4. W. Pompe, Geometria kół, Wydawnictwo Szkolne OMEGA, Kraków 2019.

5. V. Prasolov, Zadaczi po planimietrii. Tom I-II (ros.), Nauka, Moskwa 1991

Efekty uczenia się:

1. Zna pojęcia potęgi punktu względem okręgu, osi potęgowych, środka potęgowego oraz twierdzenia o konstrukcji stycznej samą linijką i Brianchona. Umie stosować te pojęcia i twierdzenia w zadanych konfiguracjach geometrycznych.

2. Zna definicję inwersji względem okręgu i jej własności (opis obrazów okręgów i prostych, konforemność), umie przekształcać zadane konfiguracje przez inwersję, potrafi dostrzegać elementy inwersyjne w zadanych konfiguracjach geometrycznych i wyciągać z tego wnioski dotyczące danej konfiguracji, potrafi “symetryzować” wybrane konfiguracje poprzez odpowiednio dobraną inwersję i wyciągać z tego wnioski. Zna formuły na zmianę odległości oraz promienia okręgu po inwersji, umie je stosować w wybranych zagadnieniach.

3. Zna równoważne geometryczne definicje stożkowych, potrafi konstruować styczne do stożkowych, zna podstawowe geometryczne własności stożkowych (styczna do stożkowej, rzuty ognisk na styczne, własności izogonalne) i potrafi je stosować w zadanych konfiguracjach geometrycznych. Umie wskazać ognisko, kierownicę oraz mimośród stożkowej na przekroju stożka i walca oraz stosować te obserwacje w wybranych konfiguracjach geometrycznych. Zna ogólne równanie stożkowej, potrafi na podstawie współczynników podać typ stożkowej.

4. Zna definicję i geometryczne własności przekształceń afinicznych, potrafi przekształcać afiniczne wybrane konfiguracje geometryczne i wyciągać z tego wnioski.

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2020/21" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2021-02-22 - 2021-06-13
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Waldemar Pompe
Prowadzący grup: Waldemar Pompe
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.