Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Metody algebraiczne geometrii i topologii

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-135MGT Kod Erasmus / ISCED: 11.1 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Metody algebraiczne geometrii i topologii
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty fakultatywne dla studiów 2 stopnia na matematyce
Przedmioty fakultatywne na matematyce
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

fakultatywne

Skrócony opis:

Podstawowe pojecia teorii kategorii, kategorie addytywne i abelowe; Iloczyn tensorowy w kategorii modułów. Moduły projektywne, injektywne i rezolwenty. Grupy z gradacja; kompleksy łancuchowe i ich homologie. Funktory pochodne Hom i produktu tensorowego. Presnopy, snopy i ich kohomologie.

Kohomologie symplicjalne i kohomologie Cecha. Nakrycia i wiazki główne; interpretacja kohomologiczna. W przypadku udziału słuchaczy obcojezycznych wykład jest prowadzony po angielsku.

Pełny opis:

1. Podstawowe pojecia teorii kategorii: kategoria, funktor, transformacje naturalne, funktory dołaczone,lemat Yonedy, granice proste i odwrotne diagramów. Kategorie addytywne i abelowe. Przykłady z teorii grup i topologii. Grupoidy. Presnopy i zbiory symplicjalne jako przykłady funktorów.

2. Kategoria modułów nad pierscieniem jako przykład kategorii abelowej. Pierscien grupowy. Iloczyn tensorowy modułów (takze w przypadku nieprzemiennym). Moduły wolne, projektywne i injektywne, rezolwenty. Uogólnienie na kategorie abelowe.

3. Grupy z gradacja, ltracja i rózniczka. Kompleksy łancuchowe i ich homologie. Homotopia łancuchowa. Funktory pochodne funktorów okreslonych na kategorii abelowej.

4. Funktory pochodne Hom i iloczynu tensorowego oraz granicy odwrotnej. Interpretacja w terminach rozszerzen. Twierdzenie o współczynnikach uniwersalnych i tw. Kunnetha.

5. Kompleksy symplicjalne i ich homologie. Nerw pokrycia. Kohomologie Cecha pokrycia. Presnopy miekkie i rozkład jednosci wpisany w pokrycie. Kohomologie Cecha przestrzeni topologicznej.

6. Presnopy i snopy. Przestrzen snopa. Obraz prosty i odwrotny snopa. Kohomologie snopa jako funktor pochodny funktora przekrojów globalnych. Porównanie z kohomolgiami Cecha.

7. Wiazki lokalnie trywialne, wektorowe, główne i przestrzenie nakrywajace. Projektywnosc modułu przekrojów wiazki wektorowej. Grupa podstawowa. Klasykacja wiazek w terminach kohomologicznych (kocykle). Pierwsza klasa Stiefela-Whitney (odp. klasa Cherna) wiazek liniowych rzeczywistych (odp. zespolonych).

Literatura:

1. Bredon, G. Sheaf Theory. GTM 170. Springer.

2. Bredon, G. Topology and Geometry, Graduate Texts in Mathematics 139, Springer Verlag, New York

1993.

3. Hatcher, A. Algebraic Topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002.

4. Fulton, W. Algebraic Topology. A First Course. GTM 153. Springer

5. Gelfand, S.I., Manin, Yu.I. Methods of Homological Algebra. Springer Monographs in Mathematics

2002

6. Husemoller, D. Fibre bundles. Third Edition. GTM 20. Springer.

7. S. Mac Lane, Homology Grundlehren 114, Springer 1963

8. Spanier, E. Algebraic Topology McGraw-Hill

9. Weibel, Ch Homological Algebra

Efekty uczenia się:

Absolwent przedmiotu powinien:

• umiec sformułowac pojecia i twierdzenia wchodzace do programu oraz wyjasnic je na podstawie

przykładów i podac wybrane dowody;

• dostrzegac kategoryjna nature obiektów matematycznych, z którymi zapoznaje sie na innych

przedmiotach;

• zilustrowac zwiazki teorii snopów oraz wiazek głównych z zagadnieniami omawianymi w ramach

innych przedmiotów.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2018/19" (zakończony)

Okres: 2018-10-01 - 2019-01-25
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Andrzej Białynicki-Birula
Prowadzący grup: Andrzej Białynicki-Birula
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2019/20" (w trakcie)

Okres: 2019-10-01 - 2020-01-27
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Adrian Langer
Prowadzący grup: Adrian Langer
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.