Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Wstęp do analizy stochastycznej

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-135WAS Kod Erasmus / ISCED: 11.193 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Wstęp do analizy stochastycznej
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty fakultatywne dla studiów 2 stopnia na matematyce
Przedmioty fakultatywne na matematyce
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

fakultatywne

Założenia (lista przedmiotów):

Rachunek prawdopodobieństwa II 1000-135RP2

Skrócony opis:

Podstawowe własności procesu Wienera, martyngałów z czasem ciągłych, martyngałów lokalnych, semimartyngałów. Wahanie kwadratowe semimartyngałów ciągłych i twierdzenie Dooba-Meyera. Całka Itô i jej podstawowe własności. Wzór Itô. Twierdzenie Lévy’ego o reprezentacji, zamiana miary, twierdzenie Girsanowa. Mocne i słabe rozwiązania równań stochastycznych. Związki równań stochastycznych z równaniami o pochodnych cząstkowych.

Pełny opis:

1. Podstawowe własności procesu Wienera i martyngałów z czasem ciągłym.

2. Elementy ogólnej teorii procesów w zakresie niezbędnym dla potrzeb wykładu.

3. Martyngały lokalne i semimartyngały. Wahanie kwadratowe martyngałów ciągłych i martyngałów lokalnych,

twierdzenie Dooba-Meyera.

4. Całka Stieltjesa i całka izometryczna Paleya-Wienera.

5. Całka stochastyczna Itô względem procesu Wienera. Uogólnienie: całka stochastyczna względem

semimartyngałów ciągłych.

6. Podstawowe własności całki stochastycznej: całkowanie przez podstawienie i całkowanie przez części.

7. Wzór Itô. Wahanie kwadratowe dla całki stochastycznej.

8. Twierdzenie Lévy’ego o reprezentacji, zamiana miary, twierdzenie Girsanowa.

9. Mocne rozwiązania stochastycznych równań różniczkowych. Istnienie i jednoznaczność mocnych rozwiązań

dla równań o współczynnikach lipschitzowskich. Związek z równaniami cząstkowymi. Równania

stochastyczne liniowe.

10. Słabe rozwiązania stochastycznych równań różniczkowych. Konstrukcja słabego rozwiązania używajaca

twierdzenia Girsanowa.

Literatura:

1. I. Karatzas, S. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer-Verlag 1997.

2. D. Revuz, M. Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion. Springer-Verlag 1999.

3. A.D. Wentzell, Wykłady z teorii procesów stochastycznych. PWN 1980

Efekty uczenia się:

1. Zna podstawowe własności procesu Wienera i martyngałów z czasem ciągłym.

2. Zna pojęcie martyngału lokalnego i jego wahania kwadratowego. Potrafi wyznaczyć wahanie kwadratowe dla procesu Wienera. Zna twierdzenie Dooba-Meyera.

3. Zna definicję całki Itô względem procesu Wienera i semimartyngałów ciągłych, jak również podstawowe ich własności. Zna wzór Itô i potrafi go zastosować. Potrafi wyznaczyć wahanie kwadratowe całki stochastycznej.

4. Zna twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności mocnych rozwiązań równań stochastycznych o lipschitzowskich współczynnikach i potrafi zastosować je do konkretnych zagadnień. Potrafi rozwiązywać równania różniczkowe liniowe.

5. Rozumie różnicę między słabymi a mocnymi rozwiązaniami stochastycznych równań różniczkowych

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2020/21" (w trakcie)

Okres: 2020-10-01 - 2021-01-31
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Michał Barski
Prowadzący grup: Michał Barski, Maciej Wiśniewolski
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.