Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Wstęp do procesów stochastycznych

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-135WPS Kod Erasmus / ISCED: 11.193 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Wstęp do procesów stochastycznych
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty fakultatywne dla studiów 1 stopnia na matematyce
Przedmioty fakultatywne na matematyce
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: (brak danych)
Rodzaj przedmiotu:

fakultatywne

Skrócony opis:

Wprowadzenie podstawowych pojęć teorii procesów stochastycznych. Definicja i własności procesu Poissona i procesu Wienera. Wstępne informacje o procesach Markowa i martyngałach z czasem ciągłym.

Pełny opis:

1. Procesy stochastyczne - podstawowe definicje. Procesy o przyrostach niezależnych. Proces Wienera i proces Poissona, własności trajektorii. Nieróżniczkowalność trajektorii ruchu Browna. Konstrukcja procesu Wienera za pomocą funkcji Haara, konstrukcja procesu Poissona.

2. Elementy ogólnej teorii procesów: rozkłady skończeniewymiarowe, informacje o warunkach zgodności i twierdzeniu o istnieniu procesu (bez dowodu). Sprawdzenie warunków zgodności dla wybranych procesów.

3. Twierdzenie Kołmogorowa o istnieniu modyfikacji ciągłej.

4. Procesy Markowa - podstawowe definicje. Markowskość procesu Wienera. Mocna własność Markowa dla procesu Wienera. Zasada odbicia, rozkład supremum procesu Wienera.

5. Procesy gaussowskie. Własności funkcji kowariancji. Proces Wienera jako proces gaussowski. Ułamkowy ruch Browna. Proces Ornsteina-Uhlenbecka.

6. Momenty zatrzymania, filtracje. Jednostajna całkowalność – w miarę potrzeb.

7. Martyngały z czasem ciągłym, twierdzenia: Dooba o stopowaniu, nierówności, twierdzenia o zbieżności.

8. Martyngały związane z procesem Wienera, momenty wyjścia z kuli/dojścia do kuli, powracalność i tranzytywność.

Literatura:

1. J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Script, Warszawa, wydanie IV, Warszawa 2010.

2. R. Schilling, Lothar Partzsch, Brownian Motion: An Introduction to Stochastic Processes Walter de Gruyter, 2012.

3. A.D. Wentzell. Wykłady z teorii procesów stochastycznych, PWN, Warszawa, 1980.

Efekty uczenia się:

I. Wiedza.

1. Zna podstawowe pojęcia nowoczesnej teorii procesów stochastycznych.

2. Zna definicję i podstawowe własności procesu Poissona i Wienera.

3. Ma wiedzę z zakresu podstaw procesów Markowa i martyngałów z czasem ciągłym.

II. Umiejętności.

1. Potrafi badać procesy stochastyczne pod kątem ich własności.

2. Potrafi operować podstawowymi twierdzeniami dotyczącymi martyngałów z czasem ciągłym.

3. Umie badać i stosować własność Markowa dla danych procesów.

III. Kompetencje społeczne.

Umie przedstawić w zrozumiałym języku podstawowe pojęcia teorii procesów stochastycznych i zaprezentować ich przykłady.

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2019/20" (zakończony)

Okres: 2020-02-17 - 2020-08-02
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Radosław Adamczak
Prowadzący grup: Radosław Adamczak, Rafał Meller
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2020/21" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2021-02-22 - 2021-06-13
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Anna Talarczyk-Noble
Prowadzący grup: Anna Talarczyk-Noble
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.