Metoda Forcingu

0. Aksjomat Martina i jego konsekwencje. Podstawowe pojęcia teorii forcingu: pojęcie forcingu, zbiór gęsty, antyłańcuch, filtr w porządku, filtr generic.

1. Teoria mnogości ZFC jako teoria aksjomatyczna: aksjomaty, modele, zasada refleksji i kolaps Mostowskiego, absolutność.

2. Rozszerzenia generic, relacja forsowania i "lemat o prawdzie", prawdziwość aksjomatów ZFC w rozszerzeniu.

3. Zastosowania forcingu w arytmetyce kardynalnej i zagadnieniach kombinatorycznych: dowód niezależności Hipotezy Continuum, niesprzeczność zasady diamond, niesprzeczność zadanego przebiegu funkcji potęgowej 2^kappa dla kilku regularnych liczb kardynalnych jednocześnie, itp.

4. Niesprzeczność zagadnień związanych z prostą rzeczywistą, przykłady zastosowania forcingu w topologii i teorii miary, modele Cohena i Solovaya.

5*. Produkty i iteracje, iteracja forcingów c.c.c. ze skończonymi nośnikami, dowód niesprzeczności Aksjomatu Martina.

6*. Twierdzenie Schoenfielda o absolutności, zastosowanie forcingu do dowodzenia twierdzeń w ZFC.

*) Punkty oznaczone gwiazdką zostaną zrealizowane, jeżeli czas i poziom

zainteresowania uczestników na to pozwolą.

Student po ukończeniu przedmiotu:

1. Będzie znał i umiał stosować Aksjomat Martina w roli dodatkowego aksjomatu w rozumowaniach teoriomnogościowych i topologicznych.

2. Będzie rozumiał, na czym polega relatywna niesprzeczność dodatkowego aksjomatu od teorii ZFC oraz jego niezależność.

3. Pozna podstawy metody forcingu i zrozumie dowód Cohena niezależności Hipotezy Continuum.

4. Zobaczy przykładowe zagadnienia z pogranicza teorii mnogości, topologii i teorii miary, do dowodu niezależności których używa się metody forcingu.