Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Analiza harmoniczna

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M10AH Kod Erasmus / ISCED: 11.134 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Analiza harmoniczna
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla IV - V roku matematyki
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Skrócony opis:

Wykład "Analiza harmoniczna" jest przeznaczony dla studentów zainteresowanych szeroko pojętą analizą. Jego celem jest przekazanie wiedzy na temat klasycznych wyników przemiennej analizy harmonicznej i fourierowskiej. Przedmiot ten stanowi doskonały wstęp do nauki zagadnień bardziej szczegółowych oraz abstrakcyjnych. Wymagana jest znajomość analizy na poziomie pierwszych dwóch lat studiów oraz wiedza wchodząca w zakres funkcji analitycznych i analizy funkcjonalnej I (zaliczanie równoczesne tych wykładów jest wystarczające).

Pełny opis:

Poniższa lista zawiera spis zagadnień, które będą poruszane na wykładzie, lecz dokładny dobór materiału zależał będzie od preferencji oraz przygotowania uczestników.

1. Wprowadzenie historyczne. Algebra funkcji całkowalnych na okręgu.

Współczynniki Fouriera.

2. Lemat Riemanna-Lebesgue'a. Jądra aproksymatywne (Fejera, Poissona)

oraz wnioski o sumowalności średnich Fejera i Poissona w języku

jednorodnych przestrzeni Banacha. Twierdzenia Weierstrassa o

aproksymacji wielomianami trygonometrycznymi.

3. Zagadnienie zbieżności średnich Fejera i Poissona prawie wszędzie

(twierdzenia Fejera, Lebesgue'a i Fatou).

4. Rząd zbieżności współczynników Fouriera w zależności od własności funkcji.

5. Szeregi Fouriera funkcji całkowalnych z kwadratem (twierdzenia

Riesza-Fischera, Parsevala, Plancherela).

6. Algebra absolutnie zbieżnych szeregów Fouriera.

7. Zbieżność punktowa szeregów Fouriera (kryteria Lipschitza, Diniego

i podobne)

8. Wyniki negatywne - przykład Kołmogorowa, istnienie funkcji ciągłych

o tu i ówdzie rozbieżnym szeregu Fouriera.

9. Przestrzenie Hardy'ego. Funkcja sprzężona.

10. Twierdzenia Kołmogorowa (o słabym typie) i Zygmunda. Transformata

Riesza i Hilberta oraz wniosek o zbieżności szeregów Fouriera w Lp dla

p>1.

11. Nierówność Hilberta, twierdzenie Hardy'ego-Littlewooda,

twierdzenie Braci Rieszów (o miarach analitycznych).

12. Teoria Calderona-Zygmunda.

13. Wstęp do operatorów mnożnikowych. Twierdzenie Hormandera-Michlina.

14. Twierdzenie McGehee-Pigno-Smith + Konyagin (rozwiązanie hipotezy

Littlewooda).

15. Podstawowe informacje o współczynnikach Fouriera-Stieltjesa miary.

Ciągi dodatnio określone. Twierdzenie Herglotza.

16. Miary idempotentne i twierdzenie Helsona.

Literatura:

- W. Rudin, Fourier Analysis on Groups

- A. Zygmund, Trigonometric Series

- C.C. Graham, O. C. McGehee, Essays in Commutative Harmonic Analysis

- E. M. Stein and G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis in Euclidean Spaces

- Y. Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis

- R. E. Edwards, Fourier Series, a Modern Introduction

- E. Hewitt and K. A. Ross, Abstract Harmonic Analysis

- E. M. Stein and R. Shakarchi, Fourier Analysis, an Introduction

- H. Helson, Harmonic Analysis

- T. W. Korner, Fourier Analysis

- A. Torchinsky, Real Variable Methods in Harmonic Analysis

Efekty uczenia się:

Student po odbyciu kursu "analiza harmoniczna":

1. Zna i rozumie podstawowe pojęcia teorii szeregów Fouriera.

2. Potrafi zastosować wiedzę o rozwinięciach w szeregi Fouriera do wykazania klasycznych wyników analizy.

3. Rozumie, dlaczego problem sumowalności szeregów Fouriera jest istotnie łatwiejszy niż problem ich zbieżności.

4. Jest w stanie za pomocą twierdzeń analizy funkcjonalnej wykazać istnienie funkcji ciągłych o rozbieżnym w pewnym punkcie szeregu Fouriera.

5. Umie wskazać jak odpowiednie warunki gładkości wpływają na współczynniki Fouriera.

6. Zna podstawowy język abstrakcyjnej analizy harmonicznej (np. operatory mnożnikowe i słabego typu) oraz potrafi podać przykład jej zastosowania do klasycznych problemów zbieżności szeregów Fouriera.

7. Rozumie różnice pomiędzy analizą harmoniczną w przypadku miar i w przypadku funkcji.

Metody i kryteria oceniania:

Egzamin. Aktywność w rozwiązywaniu zadań domowych (o różnym stopniu trudności) będzie premiowana zwolnieniem z egzaminu z dobrą ocena. Dla mniej

aktywnych - egzamin ustny.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2018/19" (zakończony)

Okres: 2018-10-01 - 2019-01-25
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Michał Wojciechowski
Prowadzący grup: Michał Wojciechowski
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.