Uniwersytet Warszawski - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Procesy Levy'ego i procesy stabilne

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M13PLS
Kod Erasmus / ISCED: (brak danych) / (brak danych)
Nazwa przedmiotu: Procesy Levy'ego i procesy stabilne
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia
Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka
Punkty ECTS i inne: (brak) Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: (brak danych)
Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Założenia (opisowo):

Wymagane jest wcześniejsze zaliczenie Rachunku Prawdopodobieństwa I i II. Zakładana będzie także znajomość podstaw ogólnej teorii procesów stochastycznych (konstrukcja procesu stochastycznego, proces Wienera i Poissona, własności trajektorii, pojęcie filtracji z czasem ciągłym, momentu zatrzymania,itp, tj. materiał omawiany np. na początku wykładu ze Wstępu do Analizy Stochastycznej) bądź też Wstępu do Procesów Stochastycznych.



Skrócony opis:

Wykład poświęcony będzie omówieniu wybranych zagadnień dotyczących dwóch ważnych (nie rozłącznych) klas procesów: procesów Levy'ego, tj. procesów o niezależnych stacjonarnych przyrostach oraz procesów stabilnych. Omówione zostaną własności i różne reprezentacje tych procesów, a także twierdzenia graniczne.

Jeśli na wykład nie zarejestrują się słuchacze obcojęzyczni, zajęcia będą prowadzone po polsku.

Pełny opis:

Planowane jest omówienie następujących zagadnień:

Miara losowa Poissona. Konstrukcja i własności. Całkowanie.

Rozkłady nieskończenie podzielne, twierdzenie Levy'ego-Chinczyna o reprezentacji funkcji charakterystycznej rozkładu nieskończenie podzielnego. Twierdzenie o zbieżności do rozkładu nieskończenie podzielnego (odpowiednik centralnego twierdzenia granicznego).

Procesy Levy'ego - procesy o niezależnych i stacjonarnych przyrostach. Szczególny przykład - stabilne procesy Levy'ego. Twierdzenie Levy'ego-Ito o reprezentacji procesu Levy'ego za pomocą miary losowej Poissona i niezależnego od niej procesu Wienera. Własności (np. własności trajektorii, momenty, powracalność i tranzytywność, asymptotyczne zachowanie dla małych i dużych czasów). Subordynacja.

Faktoryzacja Wienera-Hopfa. Procesy Levy'ego bez skoków dodatnich. Moment przejścia powyżej ustalonego poziomu. Proces takich momentów przejścia jako subordynator. Przykłady twierdzeń granicznych, w których procesy Levy'ego pojawiają się jako granice.

Procesy stabilne. Ogólna postać rozkładów stabilnych na prostej. Reprezentacja zmiennych losowych stabilnych w postaci szeregów. Wielowymiarowe rozkłady stabilne. Funkcja charakterystyczna i miara spektralna. Mierzenie zależności - kowariacja i kodyferencja. Niezależnie rozproszona miara losowa stabilna i procesy stabilne będące

całkami względem tej miary. Własności. Reprezentacja poissonowska. Przykłady procesów stabilnych (ułamkowe procesy stabilne, stabilny proces Ornsteina Uhlenbecka). Twierdzenia graniczne.

Samopodobne procesy stabilne. Szczególny przypadek - procesy Gaussa: ułamkowy ruch Browna i inne procesy typu ułamkowego. Własności i reprezentacje. Ułamkowy ruch Browna jako granica funkcjonałów związanych

z układami cząstek alfa-stabilnych Levy'ego.

Możliwe są pewne zmiany w zależności od przygotowania oraz zainteresowań słuchaczy.

Literatura:

Applebaum, D.:Levy processes and stochastic calculus

Bertoin, J. Levy processes

Kallenberg, O.: Foundations of modern probability, Springer, 2001.

Kyprianou. A.E.: Introductory lectures on Fluctuations of Levy processes, Springer, 2006.

Sato, K-I.: Levy processes and infinitely divisible distributions,

Cambridge University Press, 2005.

Samorodnitsky G., Taqqu: Stable non-Gaussian random processes, Chapman & Hall/CRC, 2000.

Efekty uczenia się:

Student

1. Potrafi skonstruować miarę losową Poissona o zadanej mierze intensywności.

2. Zna pojęcie rozkładu nieskończenie podzielnego oraz postać jego funkcji charakterystycznej.

3. Zna twierdzenie i potrafi udowodnić w konkretnych przypadkach zbieżność do rozkładu nieskończenie podzielnego.

4. Zna pojęcie procesu Levy'ego. Potrafi podać jego opis oraz

konstrukcję przy zadanej charakterystyce.

5. Potrafi odczytać własności procesu Levy'ego z jego miary Levy'ego oraz współczynników dryfu i dyfuzji.

6. Zna definicje rozkładu stabilnego i procesu stabilnego i role parametrów rozkładu.

7. Zna pojęcie całki względem miary losowej stabilnej, potrafi wyznaczyć parametry zmiennych losowych/procesów stabilnych takiej postaci.

8. Zna metody mierzenia zależności zmiennych losowych stabilnych.

9. Potrafi podać przykłady modeli, w których jako granice pojawiają się procesy Levy'ego oraz procesy stabilne.

Metody i kryteria oceniania:

Egzamin. Uwzględniana będzie także aktywność na ćwiczeniach.

Przedmiot nie jest oferowany w żadnym z aktualnych cykli dydaktycznych.
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.
Krakowskie Przedmieście 26/28
00-927 Warszawa
tel: +48 22 55 20 000 https://uw.edu.pl/
kontakt deklaracja dostępności USOSweb 7.0.3.0 (2024-03-22)