Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Algebry operatorów dające się widzieć

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M20AOW Kod Erasmus / ISCED: 11.1 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Algebry operatorów dające się widzieć
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla IV - V roku matematyki
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Skrócony opis:

Grafy: skończone ścieżki w grafach zorientowanych, dziedziczne i nasycone podzbiory wierzchołków, dopuszczalne podgrafy, morfizmy i morfizmy Leavitta grafów. Algebry grafowe: algebry ścieżkowe, algebry ścieżkowe Leavitta, grafowe C*-algebry, od pushoutów grafów do pullbacków grafowych C*-algebr.

Pełny opis:

Grafowe C*-algebry okazały się niezwykle skuteczne w badaniu K-teorii algebr operatorowych. Obecnie są przedmiotem intensywnych badań w dziedzinie nieprzemiennej topologii, ciesząc się dużą ilością nowych wyników. Celem tego wykładu jest przedstawienie podstaw grafów zorientowanych (kołczanów) tak aby nauczyć od początku i w systematyczny sposób teorii grafowych C*-algebr.

Wykład rozpoczyna się od odpowiedzi na podstawowe pytania dotyczące ścieżek w grafach. W szczególności, pokazujemy jak użyć szeregu algorytmów kończących aby udowodnić twierdzenie o ilości skończonych ścieżek w skończonych grafach bez pętli. Następnie pojawiają się definicje dziedzicznych i nasyconych podzbiorów wierzchołków grafu, a potem koncepcja dopuszczalnych podgrafów. Ilustrujemy ideę dopuszczalności udowadniając że, jeśli istnieje przecięcie dwóch grafów i jest dopuszczalnym podgrafem obu grafów, to istnieje również graf sumy i oba grafy są jego dopuszczalnymi podgrafami. Kończymy zajmowanie się grafami wprowadzając standardowe morfizmy grafów i pokazując w jaki sposób ewoluują one w morfizmy Leavitta grafów.

Algebra ścieżkowa grafu jest zdefiniowana jako liniowa powłoka wszystkich skończonych ścieżek grafu z mnożeniem danym przez składanie ścieżek. Zatem liczba skończonych ścieżek w grafie jest wymiarem jego algebry ścieżkowej. Następnie, kluczowym krokiem jest wprowadzenie relacji Cuntza-Kriegera w algebrze ścieżkowej rozszerzenego grafu - definiują one algebrę ścieżkową Leavitta tego grafu jako iloraz algebry ścieżkowej rozszerzenia tego grafu przez ideał generowany przez relacje Cuntza-Kriegera. Biorąc ciało liczb zespolonych za ciało podstawowe algebry ścieżkowej Leavitta grafu i definiując inwolucję przy pomocy rozszerzenia tego grafu, otrzymujemy zespoloną *-algebrę. Teraz możemy zdefiniować grafowe C*-algebry jako uniwersalne C*-algebry obwiednie algebr ścieżkowych Leavitta. Kluczowe wyniki, które będą tu przedstawione, dotyczą reprezentacji na przestrzeni Hilberta i struktury ideałów grafowych C*-algebr.

Wykład kończy się zastosowaniami w topologii nieprzemiennej. Po pierwsze, udowadniamy że, poprzez wyposażenie grafów w morfizmy Leavitta, przypisanie grafowi grafowej C*-algebry staje się kontrawariantnym funktorem do kategorii C*-algebr i *-homomorfizmów. Następnie pokazujemy kiedy ten kontrawariantny funktor przekształca pushouty grafów w pullbacki grafowych C*-algebr. Wszystko to jest ilustrowane mnóstwem naturalnych przykładów zakorzenionych w klasycznej topologii.

Literatura:

1. Graph Algebras, Piotr M. Hajac, Mariusz Tobolski, arxiv 1912.05136.

2. Leavitt Path Algebras, Gene Abrams, Pere Ara, Mercedes Siles Molina.

3. Algebras and Representation Theory, Karin Erdmann, Thorsten Holm.

4. C*-algebras and Operator Theory, Gerard J. Murphy.

Efekty uczenia się:

Zdobycie praktycznej wiedzy na temat grafowych C*-algebr pozwalającej na rozpoczęcie badań naukowych w tej dziedzinie matematyki. W zależności od poziomu zaangażowania, wykład ten może prowadzić do pracy magisterskiej lub doktorskiej.

Metody i kryteria oceniania:

systematyczne uczestniczenie w zajęciach lub egzamin ustny.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2020/21" (w trakcie)

Okres: 2020-10-01 - 2021-01-31
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Piotr Hajac
Prowadzący grup: Piotr Hajac
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.