Uniwersytet Warszawski - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Ewolucyjne równania różniczkowe cząstkowe. Przegląd podstawowych metod ich badania

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M20ERR
Kod Erasmus / ISCED: 11.1 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: Ewolucyjne równania różniczkowe cząstkowe. Przegląd podstawowych metod ich badania
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia
Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka
Punkty ECTS i inne: (brak) Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: (brak danych)
Kierunek podstawowy MISMaP:

matematyka

Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Tryb prowadzenia:

lektura monograficzna
zdalnie

Skrócony opis:

Przedstawimy szereg metod badania ewolucyjnych RRCz, który metodologicznie nie wykracza poza wstępny kurs. Opowiemy o stabilności rozwiązań stacjonarnych, falach biegnących, rozwiązaniach samopodobnych czy potokach gradientowych. Do ilustracji tych pojęć wykorzystamy mnogie przykłady równań.

Pełny opis:

Wykład jest poświęcony metodom jakościowego badania równań różniczkowych. Ważne będzie dla nas spojrzenie na zagadnienie ewolucyjne jak na (nieskończenie wymiarowy) układ dynamiczny. Wdzięcznym przykładem są równania reakcji-dyfuzji.

Wiadomo z teorii równań różniczkowych zwyczajnych, że bardzo ważne jest badanie stabilności punktów stacjonarnych i orbit łączących je. Szczególnym przykładem takiego rozwiązania równania reakcji-dyfuzji jest fala biegnąca.

Innym szczególnym ważnym przykładem są rozwiązania samopodobne. Pojawiają się one w różnych typach równań nieliniowych. Są kluczowe przy konstruowaniu fal uderzeniowych w hiperbolicznych prawach zachowania. Są zagadnienia zupełnie odmienne od wspomnianych wyżej równań reakcji-dyfuzji.

Struktura równania upraszcza się, jeśli wiemy, że jest to układ gradientowy, lub ogólniej ma ono funkcję Lapunowa. Jednym z ważnym równań w takiej postaci jest równanie Cahna-Hilliarda, które jest czwartego rzędu. Dzięki funkcji Lapunowa będziemy mogli wykazać istnienie rozwiązań dla wszystkich czasów.

Wykład jest przeznaczony dla wszystkich zainteresowanych równaniami, nie jest wymagana żadna wiedza wykraczająca poza zakres RRCz I. Poruszymy więcej zagadnień, niż te opisane wyżej.

Literatura:

Christian Kuehn, PDE dynamics. An introduction. Mathematical Modeling and Computation, 23. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2019

Alain Miranville, The Cahn-Hilliard equation. Recent advances and applications. CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, 95. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2019

Guido Schneider, Hannes Uecker, Nonlinear PDEs: A Dynamical Systems Approach, AMS, Providence, RI, 2017

Efekty uczenia się:

Zna znaczenie badania stabilności położeń równowagowych.

Zna znaczenie fal biegnących i rozwiązań samopodobnych do badania dynamiki układów.

Zna przykłady potoków gradientowych, wie czym są zbiory omega-graniczne.

Metody i kryteria oceniania:

Warunkiem zaliczenia jest napisanie eseju zaliczeniowego na temat związany z wykładem. Ostateczna ocena wystawiana na podstawie rozmowy o eseju

Przedmiot nie jest oferowany w żadnym z aktualnych cykli dydaktycznych.
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.
Krakowskie Przedmieście 26/28
00-927 Warszawa
tel: +48 22 55 20 000 https://uw.edu.pl/
kontakt deklaracja dostępności USOSweb 7.0.3.0 (2024-03-22)