Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Kwantowe niezmienniki węzłów

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M20KNW Kod Erasmus / ISCED: 11.1 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Kwantowe niezmienniki węzłów
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla IV - V roku matematyki
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Kierunek podstawowy MISMaP:

biologia
chemia
fizyka
matematyka

Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Założenia (opisowo):

Wymagania wstępne do wykładu są minimalne, w zakresie podstawowych kursów algebry, topologii. Wszystkie pojęcia zostaną wyjaśnione w trakcie wykładu w razie potrzeby.

Tryb prowadzenia:

zdalnie

Skrócony opis:

Kurs ma na celu wprowadzenie do teorii kwantowych i kategoryjnych

niezmienników węzłów. Po wyjaśnieniu klasycznych wielomianów

Aleksandra, Conwaya, Jonesa i HOMFLY-PT, skwantujemy je za pomocą reprezentacji grup kwantowych i funktora Reshetikhina-Turaeva oraz skategoryfikujemy do homologii Khovanova-Lee. Kurs oparty jest na

wybranych fragmentach literatury wymienionej poniżej. Podane zostaną

sugestie dotyczące dalszej lektury.

Pełny opis:

1. Twierdzenie Reidemeistera

2. Trójkolorowalność, grupa węzła

3. Nawias Kauffmana, wielomian Jonesa

4. Grupa warkoczy, reprezentacja Burau

5. Algebra Temperleya-Lieba

6. Wielomian Jonesa przez reprezentacje grupy warkoczy

7. Homologie Khovanova, kategoryzacja wielomianu Jonesa

8. Algebry Frobeniusa i topologiczne kwantowe teorie pola

9. Sploty i algebry Hopfa, rachunek graficzny

10. Quasi-trójkątne, modularne i wstążkowe algebry Hopfa

11. Grupy kwantowe i reprezentacje splotów

12. Kolorowanie wykresów wstążkowych za pomocą reprezentacji i kategorie

modularne

13. Niezmienniki Reshetikhina-Turaeva grafów wstążkowych przez grupy

kwantowe

14. Węzły i rozmaitości trójwymiarowe

15. Fizyka, chemia i biologia węzłów

Literatura:

M. F. Atiyah, The geometry and physics of knots, Cambridge University

Press, Cambridge, 1990.

D. Bar-Natan. On Khovanov’s categorification of the Jones polynomial.

Algebr. Geom. Topol., 2:337–370, 2002.

P. Etingof, O. Schiffmann: Lectures on Quantum Groups. International

Press (2002)

V. Jones, A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras,

Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 12 (1985) 103--111.

L. Kauffman, Knots and physics, World Scientific Publishing, 3rd edition,

1993.

T. Ohtsuki: Quantum Invariants. World Scientific (2001)

V. V. Prasolov and A. B. Sossinsky, Knots, links, braids and 3-Manifolds.

Translations of Mathematical Monographs 154, Amer. Math. Soc.,

Providence, RI, 1997.

N. Reshetikhin and V. Turaev, Ribbon graphs and their invariants

derived from quantum groups, Comm. Math. Phys. 127 (1990) 1--26.

Efekty uczenia się:

1. Znajomość podstawowych pojęć teorii węzłów, w tym topologicznych, algebraicznych i kategoryjnych.

2. Zrozumienie podstawowych rezultatów w teorii węzłów wiążących ich niezmienniki z konstrukcjami w teorii reprezentacji, algebrze i geometrii nieprzemiennej. W szczególności, zrozumienie równoważności definicji wielomianu Jonesa, pochodzących z pozornie niezależnych punktów widzenia.

3. Znajomość związku teorii węzłów z innymi dyscyplinami naukowymi, takimi jak fizyka matematyczna, chemia i biologia białek, DNA itp.

4. Przygotowanie słuchacza do samodzielnej lektury współczesnej literatury naukowej w dziedzinie.

Metody i kryteria oceniania:

Egzamin ustny, z uwzglednieniem aktywnego udziału w zajęciach i wyniku zadań domowych.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2020/21" (zakończony)

Okres: 2020-10-01 - 2021-01-31
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Tomasz Maszczyk
Prowadzący grup: Tomasz Maszczyk
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.