Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Potoki gradientowe w metryce optymalnego transportu

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M20PG Kod Erasmus / ISCED: 11.1 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Potoki gradientowe w metryce optymalnego transportu
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla IV - V roku matematyki
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Wymagania (lista przedmiotów):

Analiza funkcjonalna 1000-135AF

Założenia (opisowo):

Uczestnik powinien znać podstawowe twierdzenia analizy funkcjonalnej. Zaawansowana znajomość teorii miary nie jest wymagana, ale nie jest niewskazana. Podstawy teorii miary związane z takimi wykładami jak Analiza Matematyczna oraz Rachunek Prawdopodobieństwa powinny w zupełności wystarczyć. Uczestnik może spodziewać się krótkich wycieczek w kierunku równań różniczkowych.

Skrócony opis:

Wykład ma na celu zapoznanie uczestników z teorią optymalnego transportu, w szczególności wyprowadzając metryki Wassersteina. Koniec końców wprowadzimy pojęcie potoku gradientowego względem metryki Wassersteina i zauważymy jak wiele zjawisk fizycznych można traktować jako potoki gradientowe.

Pełny opis:

Wykład podąża zgodnie ze skryptem L. Ambrosio, N. Gigli ''A user's guide to optimal transport'' ograniczając się do przypadku przestrzeni euklidesowej.

Punkty oznaczone gwiazdką ''*'' mogą pojawić się tylko w charakterze dodatkowej informacji z pominięciem dowodów.

Część I: Zagadnienie optymalnego transportu.

1. Sformułowanie zagadnienia optymalnego transportu według Monge'a i Kantorowicza.

2. Warunki równoważne optymalności planu transportowego.

3. *Zagadnienie dualne do zagadnienia optymalnego transportu.*

4. Istnienie optymalnych odwzorowań.

Część II: Metryki Wassesteina.

1. Wprowadzenie metryk Wassersteina. Metryka W2.

2. Podstawowe własności przestrzeni miar w metryce W2.

3. Miary w metryce W2 jako przestrzeń geodezyjna.

4. Krzywe absolutnie ciągłe a równanie ciągłości.

5. *Słabo-Riemannowska struktura przestrzeni miar w metryce W2.*

Część III: Potoki gradientowe na przestrzeniach metrycznych

1. Pojęcie potoku gradientowego na przestrzeni Hilberta oraz na przestrzeni metrycznej.

2. Trzy definicje potoku gradientowego i zależności między nimi.

3. Potoki gradientowe geodezyjnie wypukłych funkcjonałów.

4. *Potoki gradientowe funkcjonałów półciągłych z dołu.*

5. Trzy klasyczne przykłady potoków gradientowych.

Literatura:

Ambrosio, Gigli ''A user's guide to optimal transport'',

Ambrosio, Gigli, Savare ''Gradien flows: In metric spaces and in the space of probability measures''.

Efekty uczenia się:

Student zna i rozumie pojęcie potoku gradientowego i jego związek z transportem masy i z równaniem ciągłości. Student wie gdzie szukać rozszerzeń materiału z wykładu i posiada dostateczne zrozumienie tej tematyki, żeby kontynuować studia we własnym zakresie.

Metody i kryteria oceniania:

Dwa do wyboru z następujących: aktywność na ćwiczeniach, jedna dość rozbudowana praca domowa, egzamin ustny.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2020/21" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2020-10-01 - 2021-01-27
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Jan Peszek
Prowadzący grup: Jan Peszek
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.