Potoki gradientowe w metryce optymalnego transportu
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-1M20PG |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.1
|
Nazwa przedmiotu: | Potoki gradientowe w metryce optymalnego transportu |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka |
Punkty ECTS i inne: |
(brak)
|
Język prowadzenia: | angielski |
Rodzaj przedmiotu: | monograficzne |
Wymagania (lista przedmiotów): | Analiza funkcjonalna 1000-135AF |
Założenia (opisowo): | Uczestnik powinien znać podstawowe twierdzenia analizy funkcjonalnej. Zaawansowana znajomość teorii miary nie jest wymagana, ale nie jest niewskazana. Podstawy teorii miary związane z takimi wykładami jak Analiza Matematyczna oraz Rachunek Prawdopodobieństwa powinny w zupełności wystarczyć. Uczestnik może spodziewać się krótkich wycieczek w kierunku równań różniczkowych. |
Skrócony opis: |
Wykład ma na celu zapoznanie uczestników z teorią optymalnego transportu, w szczególności wyprowadzając metryki Wassersteina. Koniec końców wprowadzimy pojęcie potoku gradientowego względem metryki Wassersteina i zauważymy jak wiele zjawisk fizycznych można traktować jako potoki gradientowe. |
Pełny opis: |
Wykład podąża zgodnie ze skryptem L. Ambrosio, N. Gigli ''A user's guide to optimal transport'' ograniczając się do przypadku przestrzeni euklidesowej. Punkty oznaczone gwiazdką ''*'' mogą pojawić się tylko w charakterze dodatkowej informacji z pominięciem dowodów. Część I: Zagadnienie optymalnego transportu. 1. Sformułowanie zagadnienia optymalnego transportu według Monge'a i Kantorowicza. 2. Warunki równoważne optymalności planu transportowego. 3. *Zagadnienie dualne do zagadnienia optymalnego transportu.* 4. Istnienie optymalnych odwzorowań. Część II: Metryki Wassesteina. 1. Wprowadzenie metryk Wassersteina. Metryka W2. 2. Podstawowe własności przestrzeni miar w metryce W2. 3. Miary w metryce W2 jako przestrzeń geodezyjna. 4. Krzywe absolutnie ciągłe a równanie ciągłości. 5. *Słabo-Riemannowska struktura przestrzeni miar w metryce W2.* Część III: Potoki gradientowe na przestrzeniach metrycznych 1. Pojęcie potoku gradientowego na przestrzeni Hilberta oraz na przestrzeni metrycznej. 2. Trzy definicje potoku gradientowego i zależności między nimi. 3. Potoki gradientowe geodezyjnie wypukłych funkcjonałów. 4. *Potoki gradientowe funkcjonałów półciągłych z dołu.* 5. Trzy klasyczne przykłady potoków gradientowych. |
Literatura: |
Ambrosio, Gigli ''A user's guide to optimal transport'', Ambrosio, Gigli, Savare ''Gradien flows: In metric spaces and in the space of probability measures''. |
Efekty uczenia się: |
Student zna i rozumie pojęcie potoku gradientowego i jego związek z transportem masy i z równaniem ciągłości. Student wie gdzie szukać rozszerzeń materiału z wykładu i posiada dostateczne zrozumienie tej tematyki, żeby kontynuować studia we własnym zakresie. |
Metody i kryteria oceniania: |
Dwa do wyboru z następujących: aktywność na ćwiczeniach, jedna dość rozbudowana praca domowa, egzamin ustny. |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.