Analiza matematyczna inf. I

1. Szkic teorii aksjomatycznej liczb rzeczywistych , w tym: kresy, indukcja , zapis dziesiętny liczb całkowit ych, liczby wymierne, potęga rzeczywista.

2. Ciągi liczbowe: granica (skończona i nie) oraz zbieżność, elementarne własności granicy, ciągi monotoniczne, podciągi i tw. Bolzano - Weierstrassa, warunek Cauchy'ego i zupełność, informacje o dalszych twierdzeniach z teorii granicy (np. tw. Stolza).

3. Szeregi liczbowe : pojęcie szeregu i jego sumy, zbieżność i zbieżność bezwzględna, kryteria: porównawcze, asymptotyczne, zagęszczeniowe,

d'Alemberta, Cauchy'ego, Dirichleta; zmiana kolejności sumowania, iloczyn Cauchy'ego szeregów.

4. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej : pojęcie punktu skupienia zbioru, pojęcie granicy funkcji i warunki równoważne, własności granicy, ciągłość,

własność Darboux, twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów, ciągłość jednostajna , szeregi potęgowe - zbiór zbieżności i ciągłość sumy, kilka funkcji elementarnych (wykładnicza, logarytmiczna, potęgowa, trygonometryczne).

5. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej: pochodna i jej sens geometryczny, własności algebraiczne pochodnej, różniczkowanie elementarnych funkcji, ekstrema lokalne, twierdzenia Rolle'a, Lagrange'a i Cauchy'ego o wartości średniej, monotoniczność a pochodna, reguła de l'Hospitala, wyższe pochodne,

wypukłość, wzór Taylora.**

Wiedza i umiejętności:

A. znajomość ze zrozumieniem:

- pojęć (definicje i przykłady ilustrujące),

- sformułowanych twierdzeń (twierdzenia, stwierdzenia, fakty, lematy, wnioski, itp. oraz przykłady ilustrujące),

- ważnych dowodów,

B. umiejętność praktycznego posługiwania się twierdzeniami przy badaniu konkretnych problemów matematycznych, w odniesieniu do grup tematycznych

1 - 4 i szczegółowych zagadnień w nich zawartych , wg. programu powyżej.

Kompetencje społeczne:

1. Zrozumienie możliwości użyci a elementarnych działów analizy matematycznej jako narzędzia służącego do rozwiązywania niektórych zagadnień z innych dziedzin nauki , a nawet z życia codziennego (w tym zagadnienia asymptotyczne/ graniczne)

2. Umiejętność ścisłego, precyzyjnego i zgodnego z regułami logiki formułowania stwierdzeń, zrozumienie roli dowodu. Rozróżnienie modelu matematycznego od zagadnienia praktycznego, do którego model matematyczny próbujemy stosować.