Geometria z algebrą liniową

1. Grupy. Ciała. Liczby zespolone, postać trygonometryczna, wzór de'Moivre'a, pierwiastki z jedności, pierwiastki z liczby zespolonej.

2. Wielomiany, zasadnicze tw. algebry (bez dowodu).

3. Macierze o współczynnikach z ciała. Działania na macierzach.

4. Przestrzenie liniowe nad ciałem, podprzestrzeń liniowa, liniowa niezależność, baza, wymiar. Przykłady baz. Część wspólna, suma, suma prosta podprzestrzeni.

5. Obraz, jądro i rząd macierzy. Macierze odwracalne.

6. Układy równań liniowych. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. Opis zbioru rozwiązań. Eliminacja Gaussa.

7. Wyznaczniki i ich własności. Wzory Cramera.

8. Przekształcenia liniowe i funkcjonały. Macierz przekształcenia liniowego. Rząd, obraz i jądro przekształcenia liniowego oraz macierzy. Izomorfizm przestrzeni liniowych.

9. Przestrzeń sprzężona, bazy sprzężone, macierz zmiany bazy, związek z przekształceniami liniowymi.

10. Podobieństwo macierzy. Wartość własna, wektor własny, widmo macierzy/przekształcenia liniowego. Wielomian charakterystyczny. Diagonalizacja przekształcenia liniowego/macierzy. Informacja o tw. Jordana.

11. Przestrzenie euklidesowe/unitarne. Iloczyn skalarny, norma euklidesowa, pojęcie kąta. Baza ortogonalna/ortonormalna, tożsamość Parsevala. Ortogonalizacja Grama-Schmidta. Dopełnienie ortogonalne i rozkład ortogonalny przestrzeni, rzut ortogonalny. Izometrie, macierze ortogonalne/unitarne.

12. Formy hermitowskie i symetryczne. Przystawanie macierzy. Diagonalizacja macierzy symetrycznych/hermitowskich. Kryterium Sylvestera.

Wiedza:

* Student ma opanowaną w zaawansowanym stopniu - podstawową wiedzę ogólną z zakresu analizy matematycznej, algebry, matematyki dyskretnej (elementy logiki i teorii mnogości, kombinatoryki i teorii grafów), metod probabilistycznych i statystyki (ze szczególnym uwzględnieniem metod dyskretnych) (K_W01).

W szczególności:

- Zna pojęcie i własności ciała liczbowego, w szczególności ciała liczb rzeczywistych i zespolonych.

- Wie co to jest macierz i umie wykonywać podstawowe operacje na macierzach liczbowych.

- Zna pojęcia przestrzeni liniowej, liniowej niezależności wektorów, bazy i wymiaru przestrzeni liniowej. Potrafi wskazać przykłady przestrzeni liniowych i ich baz.

- Rozumie pojęcia funkcjonału liniowego, przestrzeni i bazy sprzężonej.

- Wie co to jest przekształcenie liniowe i macierz przekształcenia liniowego. Rozumie pojęcie izomorfizmu przestrzeni liniowych.

- Zna i rozumie pojęcie wartości własnej.

- Zna pojęcia iloczynu skalarnego, ortogonalności wektorów i przestrzeni euklidesowej, oraz związek rzutu ortogonalnego z optymalną aproksymacją.

- Rozumie formy hermitowskie i symetryczne.

Umiejętności:

* Student potrafi wskazać obraz, jądro i obliczyć rząd macierzy oraz użyć tych pojęć do przedstawienia rozwiązania układu równań liniowych.(K_W01, K_U01)

* Student umie rozwiązać prostokątny układ równań liniowych stosując algorytm eliminacji Gaussa.

* Student umie wyznaczać wartości i wektory własne macierzy. (K_U01, K_W01)

* Student potrafi posługiwać się pojęciami i twierdzeniami matematycznymi algebry liniowej zarówno na poziomie abstrakcyjnym jak i w odniesieniu do konkretnych

przykładów.

* Student potrafi samodzielnie planować i realizować własne uczenie się przez całe życie (K_U09).

Kompetencje społeczne:

* Student rozumie znaczenie struktur i metod algebry liniowej jako fundamentalnego narzędzia służącego konstrukcji i analizie złożonych modeli matematycznych, w

tym tych opisujących świat rzeczywisty.

* Student jest gotów do uznawania znaczenia wiedzy w rozwiązywaniu problemów poznawczych i praktycznych oraz wyszukiwania informacji w literaturze oraz zasięgania opinii ekspertów (K_K03).