Geometria z algebrą liniową

1. Grupy. Ciała. Liczby zespolone, postać trygonometryczna, wzór de'Moivre'a, pierwiastki z jedności, pierwiastki z liczby zespolonej. Wielomiany, zasadnicze tw.

algebry (bez dowodu). Macierze o współczynnikach z ciała. Działania na macierzach.

2. Przestrzenie liniowe nad ciałem, podprzestrzeń liniowa, liniowa niezależność, baza, wymiar. Przykłady baz. Część wspólna, suma, suma prosta podprzestrzeni.

3. Przekształcenia liniowe i funkcjonały. Macierz przekształcenia liniowego. Rząd, obraz i jądro przekształcenia liniowego oraz macierzy. Izomorfizm przestrzeni

liniowych.

4. Układy równań liniowych. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. Opis zbioru rozwiązań. Eliminacja Gaussa.

5. Wyznaczniki i ich własności. Informacja o wzorach Cramera.

6. Podobieństwo macierzy. Wartość własna, wektor własny, widmo macierzy/przekształcenia liniowego. Wielomian charakterystyczny. Diagonalizacja

przekształcenia liniowego/macierzy. Informacja o tw. Jordana.

7. Przestrzeń sprzężona, bazy sprzężone, macierz zmiany bazy, związek z przekształceniami liniowymi.

8. Przestrzenie euklidesowe/unitarne. Iloczyn skalarny, norma euklidesowa, pojęcie kąta. Baza ortogonalna/ortonormalna, tożsamość Parsevala. Ortogonalizacja

Grama-Schmidta. Dopełnienie ortogonalne i rozkład ortogonalny przestrzeni, rzut ortogonalny. Izometrie, macierze ortogonalne/unitarne.

9. Formy hermitowskie i symetryczne. Przystawanie macierzy. Diagonalizacja macierzy symetrycznych/hermitowskich. Kryterium Sylvestera.

Wiedza i umiejętności:

1. Zna pojęcie i własności ciała liczbowego, w szczególności ciała liczb rzeczywistych i zespolonych. (K_W01)

2. Wie co to jest macierz i umie wykonywać podstawowe operacje na macierzach liczbowych. (K_W01, K_U01)

3. Zna pojęcia przestrzeni liniowej, liniowej niezależności wektorów, bazy i wymiaru przestrzeni liniowej. Potrafi wskazać przykłady przestrzeni liniowych i ich baz. (K_W01)

4. Potrafi wskazać obraz, jądro i obliczyć rząd macierzy oraz użyć tych pojęć do przedstawienia rozwiązania układu równań liniowych.(K_W01, K_U01)

5. Rozumie pojęcia funkcjonału liniowego, przestrzeni i bazy sprzężonej. (K_W01)

6. Umie rozwiązać prostokątny układ równań liniowych stosując algorytm eliminacji Gaussa. (K_U01)

7. Wie co to jest przekształcenie liniowe i macierz przekształcenia liniowego. Rozumie pojęcie izomorfizmu przestrzeni liniowych. (K_W01)

8. Zna i rozumie pojęcie wartości własnej. Umie wyznaczać wartości i wektory własne macierzy. (K_U01, K_W01)

9. Zna pojęcia iloczynu skalarnego, ortogonalności wektorów i przestrzeni euklidesowej, oraz związek rzutu ortogonalnego z optymalną aproksymacją. (K_U01)

10. Rozumie formy hermitowskie i symetryczne. (K_U01)

11. Potrafi posługiwać się pojęciami i twierdzeniami matematycznymi algebry liniowej zarówno na poziomie abstrakcyjnym jak i w odniesieniu do konkretnych

przykładów. (K_U01)

Kompetencje społeczne:

Rozumie znaczenie struktur i metod algebry liniowej jako fundamentalnego narzędzia służącego konstrukcji i analizie złożonych modeli matematycznych, w

tym tych opisujących świat rzeczywisty