Mathematical analysis I.1

Liczby rzeczywiste, kresy zbiorów, pewnik ciągłości, zasada indukcji zupełnej i przykłady jej zastosowań. Granica ciągu (w tym granice nieskończone), warunek Cauchy'ego, istnienie granic ciągów monotonicznych. Istnienie pierwiastków. Podstawowe granice (w tym liczba e). Twierdzenie Bolzano--Weierstrassa o ciągu ograniczonym. (4-5 wykładów)

Szeregi liczbowe o wyrazach rzeczywistych, pojęcie szeregu zbieżnego. Szereg geometryczny i rozwijanie liczb rzeczywistych przy różnych podstawach (dwuznaczność). Warunek Cauchy'ego. Szeregi o wyrazach dodatnich, kryterium porównawcze, kryterium Cauchy'ego o zagęszczaniu, kryterium ilorazowe d'Alemberta, kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego. Zależność sumy szeregu od kolejności wyrazów. Szeregi naprzemienne - kryterium Leibniza. Szeregi bezwzględnie zbieżne, zbieżność bezwarunkowa szeregu bezwzględnie zbieżnego. Twierdzenie o zbieżności iloczynu Cauchy'ego dwóch szeregów. Przekształcenie Abela, kryteria Abela i Dirichleta (10-12 wykładów).

Granica funkcji w punkcie, ciągłość funkcji, własność Darboux. Twierdzenie Weierstrassa o przyjmowaniu kresów. Jednostajna ciągłość funkcji ciągłej na przedziale domkniętym. Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna, funkcje trygonometryczne. Ciągłość funkcji odwrotnej, funkcje cyklometryczne. (9-12 wykładów)

Funkcje wypukłe, interpretacja geometryczna. Nierówność Jensena i wynikające z niej klasyczne nierówności (Cauchy'ego o średnich, Schwarza). Pochodna i jej interpretacje, styczna do wykresu funkcji. Charakteryzacja wypukłości funkcji w terminach ilorazów różnicowych i pierwszej pochodnej. (3 wykłady).

Uwaga: układ materiału podczas semestru może podlegać drobnym modyfikacjom.

A. Birkholc, Analiza matematyczna dla nauczycieli. PWN, Warszawa 1977.

B.P. Demidowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Naukowa Książka, Lublin 1992 (t. I) i 1993 (t. II i III).

G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom I i II, PWN, Warszawa 1999.

K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1979.

W. Pusz, A. Strasburger, Zbiór zadań z analizy matematycznej Wydział Fizyki UW, Warszawa 1982.

W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 2000.

1. Podaje przykłady liczb niewymiernych i zna dowody ich niewymierności. Potrafi wyznaczać kresy podzbiorów ciała liczb rzeczywistych. Posługuje się metodą indukcji zupełnej.

2. Zna pojęcie granicy ciągu liczb rzeczywistych i jego arytmetyczne własności, a także twierdzenie Bolzano-Weierstrassa i warunek Cauchy'ego. Rozpoznaje i określa najważniejsze własności ciągów liczb rzeczywistych danych wzorem jawnym lub rekurencyjnym: monotoniczność, ograniczoność, zbieżność całego ciągu lub jego podciągów.

3. Potrafi wskazać metodę definiowania funkcji wykładniczej oraz funkcji trygonometrycznych na zbiorze rzeczywistych; zna podstawowe własności analityczne tych funkcji.

4. Zna pojęcie sumy szeregu zbieżnego oraz najważniejsze własności szeregów zbieżnych bezwzględnie i warunkowo. Bada zbieżność szeregów, posługując się kilkoma kryteriami zbieżności; ocenia tempo zbieżności ciągu do granicy; potrafi odróżnić zbieżność bezwzględną od warunkowej.

5. Zna pojęcie granicy funkcji zmiennej rzeczywistej i jego równoważne definicje. Potrafi wykazać istnienie granicy funkcji elementarnej zmiennej rzeczywistej i obliczyć tę granicę.

6. Zna podstawowe własności funkcji ciągłych zmiennej rzeczywistej, w tym własność Darboux, twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów i twierdzenie Cantora o jednostajnej ciągłości na przedziałach domkniętych. Bada ciągłość i jednostajną ciągłość funkcji określonych na różnych przedziałach osi rzeczywistej. Wykorzystuje własności funkcji ciągłych w zadaniach o charakterze jakościowym, m.in. własność Darboux w dowodach istnienia rozwiązań konkretnych równań.

7. Zna pojęcie funkcji wypukłej, nierówność Jensena i najważniejsze przykłady jej zastosowań. Potrafi wykorzystać wiedzę o funkcjach wypukłych w dowodach nierówności.

8. Zna definicję pochodnej oraz geometryczne i fizyczne interpretacje tego pojęcia.