Functional Analysis I

General data

Course ID:	1000-135AF1
Erasmus code / ISCED:	11.153 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Mathematics The ISCED (International Standard Classification of Education) code has been designed by UNESCO.
Course title:	Functional Analysis I
Name in Polish:	Analiza funkcjonalna I
Organizational unit:	Faculty of Mathematics, Informatics, and Mechanics
Course groups:
ECTS credit allocation (and other scores):	(not available) Basic information on ECTS credits allocation principles: the annual hourly workload of the student’s work required to achieve the expected learning outcomes for a given stage is 1500-1800h, corresponding to 60 ECTS; the student’s weekly hourly workload is 45 h; 1 ECTS point corresponds to 25-30 hours of student work needed to achieve the assumed learning outcomes; weekly student workload necessary to achieve the assumed learning outcomes allows to obtain 1.5 ECTS; work required to pass the course, which has been assigned 3 ECTS, constitutes 10% of the semester student load. view allocation of credits
Language:	English
Type of course:	elective courses
Short description:	This is a fundamental course in functional analysis. The course starts with basic notions on Banach and Hilbert spaces and their properties. The next topic of the course concerns linear functionals and operators in these spaces and their properties. The course gives also basic information on spectra and spectral oroperties of linear operators. Spectra of compact operators on Hilbert spaces are discussed.
Full description:	Holder's inequalities and Minkowski's inequalities. Completeness and Banach spaces: sequence spaces, the L^p spaces. The notion of a linear functional and its norm, examples. Hilbert spaces, orthonormal bases and orthonormal sets of vectors, examples. The orthogonal projection and the characterization of linear continuous functionals on Hilbert spaces. The notion of a linear operator and its norm. Important example of linear operators: conditional mean, Fourier transform. Hahn-Banach Theorem, the dual space, the space dual to L^p. Adjoint operators on Banach and Hilbert spaces. Banach - Steinhaus Theorem, applications.
Bibliography:	W. Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill, 1991
Learning outcomes:	(in Polish) Wiedza i umiejętności: 1. Zna definicję i własności przestrzeni Banacha, przestrzeni ciągowych, przestrzeni C(K), przestrzeni funkcji całkowalnych z p-tą potęgą, nierówności Hoeldera i Minkowskiego, pojęcie funkcjonału liniowego i jego normy. 2. Zna definicję i własności przestrzeni Hilberta, układu i bazy ortonormalnej, twierdzenie o rzucie ortogonalnym, przykłady baz ortonormalnych: układ trygonometryczny, układ Haara, falki, postać funkcjonału liniowego na przestrzeni Hilberta. 3. Zna definicje i własności operatorów liniowych, normy operatora, przykłady ważnych operatorów: np. operator średniej warunkowej i twierdzenie Radona-Nikodyma, transformatę Fouriera i twierdzenie Plancherela. 4. Zna definicje i własności operatorów sprzężonych na przestrzeni Hilberta, operatorów unitarnych, Twierdzenie o diagonalizacji operatora zwartego i samosprzężonego. 5. Zna twierdzenia Banacha-Steinhausa i jego zastosowania, twierdzenie Hahna-Banacha i twierdzenia o oddzielaniu. 6. Zna definicję i własności przestrzeni sprzężonej do przestrzeni Banacha, w szczególności przestrzeni sprzężonej do przestrzeni C(K) i przestrzeni funkcji całkowalnych z p-tą potęgą, operatora sprzężonego na przestrzeniach Banacha, preliminaria słabej i słabej z gwiazdką zbieżności, twierdzenie o wykresie domkniętym i odwzorowaniu otwartym. 7. Posiada umiejętności konstruowania rozumowań matematycznych: dowodzenia twierdzeń, jak i obalania hipotez poprzez konstrukcje i dobór kontrprzykładów. Kompetencje społeczne: 1. Rozumie znaczenie analizy funkcjonalnej jako abstrakcyjnego narzędzia w innych działach matematyki. 2. Posługuje się językiem oraz metodami analizy funkcjonalnej w zagadnieniach analizy matematycznej i jej zastosowaniach.

This course is not currently offered.

Course descriptions are protected by copyright.
Copyright by University of Warsaw.