University of Warsaw - Central Authentication System
Strona główna

Introduction to partial differential equations

General data

Course ID: 1000-135WRC
Erasmus code / ISCED: 11.1 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Mathematics The ISCED (International Standard Classification of Education) code has been designed by UNESCO.
Course title: Introduction to partial differential equations
Name in Polish: Wstęp do równań różniczkowych cząstkowych
Organizational unit: Faculty of Mathematics, Informatics, and Mechanics
Course groups: Elective courses for 1st degree studies in mathematics
Physics (2nd cycle); courses from list "Selected Problems of Modern Physics"
ECTS credit allocation (and other scores): 6.00 Basic information on ECTS credits allocation principles:
  • the annual hourly workload of the student’s work required to achieve the expected learning outcomes for a given stage is 1500-1800h, corresponding to 60 ECTS;
  • the student’s weekly hourly workload is 45 h;
  • 1 ECTS point corresponds to 25-30 hours of student work needed to achieve the assumed learning outcomes;
  • weekly student workload necessary to achieve the assumed learning outcomes allows to obtain 1.5 ECTS;
  • work required to pass the course, which has been assigned 3 ECTS, constitutes 10% of the semester student load.
view allocation of credits
Language: Polish
Type of course:

elective courses
Short description:

Introduction to partial differential equations. Selected topics in theory of distributions and Sobolev spaces, applications to ellpitic, parabolic and hyperbolic problems.
Full description: (in Polish)

Przykłady rownań różniczkowych cząstkowych; związki z fizyką i geometrią. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu, informacja o metodzie charakterystyk. (1--2 wykłady)

Równanie falowe w wymiarach n=1, 2, 3. Wzory d'Alemberta, Poissona, Kirchhoffa. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań. Zasada Huygensa. Niejednorodne równanie falowe, metoda Duhamela. Równanie przewodnictwa cieplnego. Zasada maksimum. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań. Interpretacja probabilistyczna. Porównanie własności rozwiązań równania przewodnictwa cieplnego i równania falowego; interpretacje fizyczne. Równanie Laplace'a i Poissona. Funkcje harmoniczne: własność wartości średniej, zasada maksimum, nierówność Harnacka, ciągi funkcji harmonicznych. Funkcja Greena. Metoda Perrona i pojęcie bariery. Klasyfikacja równań rzędu drugiego. (4--6 wykładów)

Dystrybucje i przestrzenie Sobolewa: motywacje i definicje. Gęstość funkcji gładkich. Nierówność Poincarego.

Twierdzenie Sobolewa o włożeniu. Twierdzenie o śladzie. Metoda wariacyjna Ritza i słabe rozwiązania eliptycznych zagadnień brzegowych. Lemat Weyla; wzmianka o teorii regularności. (3--4 wykłady)

Funkcje i wartości własne operatora Laplace'a. (1--2 wykłady)

Twierdzenie Cauchy'ego i Kowalewskiej; przykład istotności założeń. Informacja o twierdzeniu Holmgrena. (1 wykład)
Bibliography: (in Polish)

L.C. Evans. Równania różniczkowe cząstkowe. PWN, Warszawa 2002.

L. Bers, J. Fritz, M. Schechter. Partial differential equations. Interscience, 1964.
Learning outcomes: (in Polish)

Wiedza i umiejętności:

1. wie, co to jest równanie różniczkowe cząstkowe; rozróżnia równania eliptyczne, hiperboliczne i paraboliczne

2. umie wyprowadzić wzór d’Alemberta; zna metodę wyprowadzenia wzorów Kirchhoffa i Poissona

3. zna własności funkcji harmonicznych, w szczególności własność wartości średniej i jej konsekwencje

4. zna nierówność Harnacka i jej konsekwencje

5. w prostych przypadkach znajduje funkcję Greena

6. zna wzór na rozwiązanie równania ciepła w całej przestrzeni

7. umie wykorzystywać zasadę maksimum w dowodach jednoznaczności rozwiązań

8. korzysta z metod energetycznych

9. umie rozwiązywać wybrane równania różniczkowe cząstkowe metodą rozdzielenia zmiennych; zna podstawowe własności szeregów Fouriera

10. zna metodę Perrona

11. zna definicje i podstawowe własności przestrzeni Sobolewa

12. umie wykazać istnienie słabych rozwiązań, posługując się twierdzeniem Laxa-Milgrama

13. umie wykazać nierówność Poincarego oraz twierdzenie Sobolewa

14. na wybranych przykładach pokazuje związek istnienia rozwiązania równania różniczkowego z istnieniem minimum odpowiedniego funkcjonału

Kompetencje społeczne:

1. umie pracować w grupie, rozwiązując i omawiając problemy związane z teorią równań różniczkowych cząstkowych

2. zna rolę równań różniczkowych cząstkowych w opisie świata fizycznego

Classes in period "Summer semester 2023/24" (in progress)

Time span: 2024-02-19 - 2024-06-16
Selected timetable range:
Navigate to timetable
Type of class:
Classes, 30 hours more information
Lecture, 30 hours more information
Coordinators: Jan Peszek
Group instructors: Michał Fabisiak, Jan Peszek
Students list: (inaccessible to you)
Examination: Examination

Classes in period "Summer semester 2024/25" (future)

Time span: 2025-02-17 - 2025-06-08
Selected timetable range:
Navigate to timetable
Type of class:
Classes, 30 hours more information
Lecture, 30 hours more information
Coordinators: Piotr Mucha
Group instructors: Piotr Mucha, Jan Peszek
Students list: (inaccessible to you)
Examination: Examination
Course descriptions are protected by copyright.
Copyright by University of Warsaw.
Krakowskie Przedmieście 26/28
00-927 Warszawa tel: +48 22 55 20 000 https://uw.edu.pl/ contact accessibility statement USOSweb 7.0.3.0 (2024-03-22)