Topological methods in asyptotic geometry

Geometria wielkiej skali opisuje i bada własności przestrzeni metrycznych, które odpowiadają temu, co widzimy patrząc na nie z bardzo dalekiej perspektywy. Proseminarium daje okazję bliższego wejrzenia w dziedzinę będącą w stadium wczesnego rozwoju.

Geometria wielkiej skali, inaczej geometria asymptotyczna, opisuje i bada własności przestrzeni metrycznych, które odpowiadają temu co widzimy, patrząc na nie z bardzo dalekiej perspektywy. Oglądane w ten sposób prosta euklidesowa i jej podprzestrzeń składająca się ze wszystkich punktów całkowitych zdają się niczym nie różnić.

Jedną z przysługujących przestrzeniom metrycznym cech tego typu jest posiadanie wymiaru asymptotycznego równego n, gdzie n jest liczbą całkowitą lub nieskończonością. W przypadku przestrzeni euklidesowej wymiaru n, wymiar ten pokrywa się z wymiarem tej przestrzeni w sensie ustalonym przez algebrę liniową i jest równy n. Wymiar n ma jednak również podprzestrzeń przestrzeni euklidesowej złożona z punktów o wszystkich współrzędnych całkowitych.

Jeżeli G jest grupą, to dla każdego zbioru generatorów możemy skonstruować metrykę długości słowa. Metryka ta zależy od zbioru generatorów, ale jeżeli ograniczamy się do grup skończenie generowanych i skończonych zbiorów generatorów, to wszystkie otrzymane w ten sposób przestrzenie metryczne z punktu widzenia geometrii asymptotycznej są takie same.

Własności asymptotyczne grupy G rozpatrywanej jako przestrzeń metryczna decydują o tym, czy dla G zachodzą pewne twierdzenia (ważne z punktu widzenia całej matematyki). Dzieje się tak np. dla takich grup G, których wymiar asymptotyczny jest skończony.

Geometria asymptotyczna, leżąc na "skrzyżowaniu" klasycznych działów matematyki, interesuje matematyków różnych specjalności. Znalazła między innymi zastosowania w topologii (Hipoteza Nowikowa), nieprzemiennej geometrii, analizie funkcjonalnej (Hipoteza Kadisona - Kaplansky'ego), geometrii różniczkowej (problem dodatniej krzywizny).

Jest dyscypliną w stadium wczesnego rozwoju. Ciągle pojawiają się nowe wyniki oraz nowe interesujące problemy, których rozwiązania mogą być dostępne nawet dla początkujących matematyków.