(in Polish) Analiza matematyczna i układy dynamiczne

Celem proseminarium jest:

1) wprowadzenie w wybrane zagadnienia analizy matematycznej, które nie były omawiane podczas kursowego wykładu,

2) wprowadzenie w podstawowe zagadnienia układów dynamicznych i teorii ergodycznej.

Układy dynamiczne i związana z nimi teoria ergodyczna to ważne dziedziny współczesnej matematyki. Powstały przy badaniach zachowania rozwiązań układów równań różniczkowych o skomplikowanych rozwiązaniach (np. zagadnienie trzech ciał). Matematycy iterowali też funkcje wtedy, gdy chcieli znaleźć przybliżenia pierwiastków wielomianu, np. przy pomocy metody Newtona. Najogólniej mówiąc, chodzi tu o badanie ewolucji różnych układów w czasie, ze szczególnym uwzględnieniem własności stochastycznych oraz geometrii zbiorów granicznych i niezmienniczych. Wykorzystywane są metody z wielu gałęzi matematyki (m.in. rachunku prawdopodobieństwa, analizy funkcjonalnej, analizy zespolonej, topologii algebraicznej). Układy dynamiczne znajdują liczne zastosowania w naukach przyrodniczych.

W Polsce tą problematyką zajmuje się od wielu lat z sukcesem kilka grup badawczych, m.in. na naszym Wydziale, oraz w IMPAN, na Politechnice Warszawskiej, a także na Uniwersytetach we Wrocławiu, Toruniu, Krakowie, Olsztynie.

W ramach proseminarium zamierzamy przedstawić podstawowe idee i pojęcia układów dynamicznych i teorii ergodycznej (m.in. zbiór graniczny, stabilność, atraktor, repeller, entropia, ergodyczność) ilustrując je licznymi, elementarnymi przykładami (homeomorfizmy okręgu, automorfizmy torusa, dynamika ułamków łańcuchowych, fraktale, zbiory Julii). Będziemy używać wyłącznie metod dostępnych dla studentów po drugim roku studiów.

Zagadnienie wariacyjne jest szukaniem minimum pewnego funkcjonału określonego na nieskończenie wymiarowej przestrzeni. W typowych zastosowaniach jest to przestrzeń krzywych określonej klasy gładkości łączących dwa ustalone punkty. Naturalne przykłady to funkcjonał długości krzywej na rozmaitości, zagadnienie brachistochrony czy też funkcjonał działania mający swoje motywacje w mechanice klasycznej. Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum lokalnego takiego funkcjonału jest spełnienie równań Eulera-Lagrange'a. W przypadku funkcjonału długości prowadzą one do równań geodezyjnych na rozmaitości a dla funkcjonału działania dostajemy równania Newtona w wersji niezależnej od wybranych współrzędnych. Warunek dostateczny na minimum funkcjonału prowadzi do pojęcia pól Jacobiego i punktów sprzężonych wzdłuż określonego rozwiąznia równań Eulera-Lagrange'a.

R. Devaney, An introduction to chaotic dynamical systems, third edition, CRC Press, Boca Raton, 2022.

S. Fomin, I. Kornfeld, J. Sinaj, Teoria ergodyczna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1987.

I. Gelfand, S. Fomin, Rachunek wariacyjny, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1975.

B. Hasselblatt, A. Katok, A first course in dynamics, Cambridge University Press, Cambridge 2003.

M. Pollicott, M. Yuri, Dynamical systems and ergodic theory, London Mathematical Society Student Texts, 40, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

F. Przytycki, M. Urbański, Conformal fractals. Ergodic theory methods, London Mathematical Society Lecture Note Series 371, Cambridge University Press, Cambridge, 2010.

C. Robinson, Dynamical systems. Stability, symbolic dynamics and chaos, Second edition, CRC Press, Boca Raton, 1999.

W. Szlenk, Wstęp do teorii gładkich układów dynamicznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1982.

P. Walters, An introduction to ergodic theory, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982.

J. Milnor, Morse Theory, Princeton Iniversity Press, 1963.

Zdobycie podstawowej wiedzy o układach dynamicznych i teorii ergodycznej. Umiejętność analizy prostych układów dynamicznych pod względem geometrycznym i stochastycznym.

Równania Eulera-Lagrange'a jako warunek konieczny ekstremum funkcjonału. Równania mechaniki klasycznej jako równania Eulera-Lagrange'a funkcjonału działania. Związek równania Jacobiego z drugą wariacją.

Regularna obecność na zajęciach. Przygotowanie i wygłoszenie co najmniej jednego referatu w ciągu każdego semestru.