Mathematical analysis for computer science I

Aksjomatyka liczb rzeczywistych, potęga rzeczywista, ciągi i szeregi liczbowe, granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej, rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej.

*Co to jest teoria aksjomatyczna? Aksjomatyka liczb rzeczywistych. Aksjomat ciągłości, kresy.

* Zasada indukcji zupełnej. Nierówność Bernoulli’ego, nierówności między średnimi. Pojęcie zbioru gęstego.

* Granica ciągu: definicja, jednoznaczność, własności arytmetyczne, twierdzenie o trzech ciągach

* Zbieżność ciągów monotonicznych. Podciągi i twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

* Twierdzenie Stolza. Funkcja wykładnicza i logarytm (w dziedzinie rzeczywistej).

* Szeregi o wyrazach dodatnich. Warunki konieczne i dostateczne zbieżności, przykłady

* Zbieżność warunkowa i bezwzględna. Kryterium Abela i Dirichleta.

* Mnożenie szeregów. Funkcja wykładnicza w dziedzinie zespolonej.

* Sinus i cosinus w dziedzinie zespolonej. Liczba π.

* Granica funkcji. Granice jednostronne.

* Ciągłość. Własność Darboux i twierdzenie Weierstrassa. Wzmianka o jednostajnej ciągłości.

* Wypukłość i jej różne charakteryzacje. Nierówność Jensena.

* Pochodna: definicja i własności.

* Lemat Fermata, twierdzenie Rolle’a i twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej. Wnioski, przykłady.

Wiedza

* Student zna ze zrozumieniem:

- pojęcia (definicje i przykłady ilustrujące),

- sformułowane twierdzenia (twierdzenia, stwierdzenia, fakty, lematy, wnioski, itp. oraz przykłady ilustrujące),

- ważne dowody.

* Student ma opanowaną w zaawansowanym stopniu - podstawową wiedzę ogólną z zakresu analizy matematycznej, algebry, matematyki dyskretnej (elementy logiki i teorii mnogości, kombinatoryki i teorii grafów), metod probabilistycznych i statystyki (ze szczególnym uwzględnieniem metod dyskretnych) (K_W01)

Umiejętności

* Student posiada umiejętność praktycznego posługiwania się twierdzeniami przy badaniu konkretnych problemów matematycznych, w odniesieniu do grup tematycznych 1 - 4 i szczegółowych zagadnień w nich zawartych , wg. programu powyżej.

* Student potrafi pozyskiwać informacje z literatury, baz wiedzy, Internetu oraz innych wiarygodnych źródeł, integrować je, dokonywać ich interpretacji oraz wyciągać wnioski i formułować opinie (K_U02).

* Student potrafi samodzielnie planować i realizować własne uczenie się przez całe życie (K_U09).

Kompetencje społeczne:

* Zrozumienie możliwości użyci a elementarnych działów analizy matematycznej jako narzędzia służącego do rozwiązywania niektórych zagadnień z innych dziedzin nauki , a nawet z życia codziennego (w tym zagadnienia asymptotyczne/ graniczne)

* Umiejętność ścisłego, precyzyjnego i zgodnego z regułami logiki formułowania stwierdzeń, zrozumienie roli dowodu. Rozróżnienie modelu matematycznego od zagadnienia praktycznego, do którego model matematyczny próbujemy stosować.

* Student jest gotów do uznawania znaczenia wiedzy w rozwiązywaniu problemów poznawczych i praktycznych oraz wyszukiwania informacji w literaturze oraz zasięgania opinii ekspertów (K_K03).

Część grup ćwiczeniowych jest prowadzona w szczególnej formule, z zajęciami laboratoryjnymi i wykorzystaniem systemu obliczeń symbolicznych Mathematica; do grup tych jest prowadzona osobna rejestracja.