Analysis
General data
Course ID: | 1100-1INZ21 |
Erasmus code / ISCED: |
11.101
|
Course title: | Analysis |
Name in Polish: | Analiza |
Organizational unit: | Faculty of Physics |
Course groups: | |
ECTS credit allocation (and other scores): |
(not available)
|
Language: | Polish |
Type of course: | obligatory courses |
Short description: |
The purpose of this course is to introduce advanced notions of mathematical analysis and methods of mathematical physics. |
Full description: |
(in Polish) Przedmiot Analiza ma na celu poszerzenie materiału z zakresu matematyki wykładanej na pierwszym semestrze w ramach wykładów "Algebra z Geometria" i "Rachunek Różniczkowy i Całkowy" o metody matematyczne powszechnie stosowane w fizyce i chemii. Stanowi on przygotowanie do studiowania zaawansowanych zagadnień teoretycznych i praktycznych w zakresie tych dyscyplin. Program: Analiza wektorowa: gradient, dywergencja, rotacja, laplasjan w dowolnym układzie współrzędnych. Podstawy form różniczkowych. Całkowanie po krzywych i powierzchniach. Wzory Greena, Stokesa i Gaussa. Funkcje jednej zmiennej zespolonej: Odwzorowania konforemne, funkcje wieloznaczne i powierzchnia Riemanna, punkty rozgałęzienia i cięcia. Różniczkowalność w sensie zespolonym, analityczność. Pochodna funkcji zespolonej i wzory Cauchy-Riemanna, funkcje harmoniczne. Calki konturowe na płaszczyźnie zespolonej Twierdzenia Cauchy i Morery, wzory Cauchy, lemat Jordana. Szeregi Taylora i Laurenta. Przedłużenie analityczne. Klasyfikacja punktów osobliwych. Twierdzenie o residuach i jego zastosowania Zastosowanie do obliczania całek z funkcji jednoznacznych i wieloznacznych residuum logarytmiczne i w nieskończoności, dowód podstawowego twierdzenia algebry. Wartość główna całki, związki dyspersyjne i transformata Hilberta. Funkcje Eulera gamma i beta, wzór Stirlinga. Szeregi Fouriera Szeregi funkcyjne i ich zbieżnoć: punktowa, jednostajna i w sensie wartości średniej. Szeregi Fouriera Lemat Riemanna, warunki i twierdzenie Dirichleta, twierdzenie Parsevala. Transformata Fouriera Prosta i odwrotna transformata Fouriera, twierdzenie Parsevala. Własności transformaty Zastosowanie do liniowych równań różniczkowych cząstkowych (np. równania dyfuzji), Elementy teorii dystrybucji, delta Diraca Dystrybucje jako granice ciągów funkcji, delta Diraca i podstawowe własności laplasjan potencjału kulombowskiego i model ładunku punktowego. Elementy teorii przestrzeni Hilberta Iloczyn skalarny, odległość i norma. Operatory normalne, hermitowskie, unitarne i rzutowe. Rozkład jedynki. Twierdzenie spektralne i funkcja od operatora. Zagadnienie Sturma -- Liouville'a Zagadnienie własne dla równań różniczkowych. Wielomiany ortogonalne Wielomiany ortogonalne jako wynik ortogonalizacji Grama-Schmidta w przestrzeni Hilberta. Definicja wielomianów ortogonalnych poprzez funkcję tworzącą i ich powiązanie z wielomianami otrzymanymi w wyniku ortogonalizacji Grama-Schmidta, Wzory Rodriguesa. Od studentów wymagana jest znajomość matematyki na poziomie wykładów Algebra z Geometrią i Rachunek Różniczkowy i całkowy. Ocena końcowa jest wypadkową punktów uzyskanych na kolokwiach, egzaminie pisemnym i oceny z egzaminu ustnego. |
Bibliography: |
1. D. A. McQuarrie, Matematyka dla przyrodników i inżynierów, PWN (tom 2 i 3). 3. A. Birkholc, Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, PWN.1986 2. G. M. Fichtenholtz, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN (tom 2 i 3). 4. W. Krysicki i L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, PWN (część 2). 5. G. B. Arfken i H. J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, Elsevier. 6. M. Reed, B. Simon, Methods of modern mathematical physics I,II, Ac. Press, NY 1972 |
Copyright by University of Warsaw.