Analiza matematyczna i układy dynamiczne

proseminaria

Proseminarium przeznaczone jest dla studentów zainteresowanych szeroko rozumianą analizą matematyczną i układami dynamicznymi.

Analiza matematyczna jest fundamentem wielu dziedzin matematyki, zarówno teoretycznej, jak i stosowanej. Rozwój analizy funkcjonalnej był w dwudziestym wieku jednym z motorów rozwoju np. takich gałęzi matematyki, jak równania różniczkowe cząstkowe (w tym: opis funkcji własnych operatorów różniczkowych, słynne pytania o to, czy można usłyszeć kształt bębenka) czy rachunek wariacyjny (a więc np. pytania o kształt oraz o samo istnienie powierzchni o zadanym brzegu i minimalnym polu, albo o skutki tzw. zasady najmniejszego działania w klasycznej mechanice); bez nich nie byłoby olbrzymich partii współczesnej matematyki, ważnych zarówno z poznawczego punktu widzenia, jak i w zastosowaniach.

Natomiast układy dynamiczne i związana z nimi ściśle teoria ergodyczna to bardzo ważne dziedziny współczesnej matematyki, znajdujące liczne zastosowania w naukach przyrodniczych, a przy tym bardzo ciekawe z teoretycznego punktu widzenia. Powstały, bo ludzie interesowali się zachowaniem się rozwiązań układów równań różniczkowych, w tym takich, których rozwiązaniami są funkcje nieelementarne (np. zagadnienie 3 ciał), lub przynajmniej tak skomplikowane, że nie bardzo można zrozumieć, jak się zachowują. Matematycy iterowali też funkcje np. wtedy, gdy chcieli znaleźć przybliżenia pierwiastków wielomianu (metoda stycznych Newtona). Najogólniej mówiąc, chodzi w tej teorii o badanie ewolucji różnych układów w czasie, ze szczególnym uwzględnieniem własności stochastycznych oraz geometrii zbiorów granicznych i niezmienniczych. Wykorzystywane są metody z wielu gałęzi matematyki (m.in. właśnie analizy, teorii miary, rachunku prawdopodobieństwa, topologii).

W ramach proseminarium zamierzamy uzupełnić i poszerzyć wiedzę studentów z zakresu klasycznie rozumianej analizy (m.in. o zagadnienia z teorii szeregów Fouriera, a także przykłady problemów wariacyjnych o geometrycznym pochodzeniu), a także przedstawić podstawowe idee i pojęcia układów dynamicznych i teorii ergodycznej (m.in. zbiór graniczny, stabilność, atraktor, repeller, entropia, ergodyczność), ilustrując je licznymi, elementarnymi przykładami (homeomorfizmy okręgu, automorfizmy torusa, dynamika ułamków łańcuchowych, fraktale, zbiory Julii).

Będziemy używać wyłącznie metod dostępnych dla studentów po drugim roku studiów.

Program może ulec zmianom w przypadku sugestii ze strony słuchaczy. Podstawowym celem pozostanie jednak pokazanie związków klasycznej analizy i układów dynamicznych z innymi działami matematyki, a także ich zastosowań do opisu różnych zjawisk fizycznych (i nie tylko!).

Propozycje referatów i kilku nurtów tematycznych proseminarium przedstawimy na pierwszych zajęciach.

B. Hasselblatt, A. Katok. A first course in dynamics.

Cambridge University Press, 2003

R.Devaney, An introduction to chaotic dynamical systems, The Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Menlo Park, 1986.

C.Robinson, Dynamical systems. Stability, symbolic dynamics and chaos, Second edition, CRC Press, Boca Raton, 1999.

V.I. Arnold: Teoria równań różniczkowych; Metody matematyczne mechaniki klasycznej.

R. Courant, Dirichlet's Principle, Conformal Mappings and Minimal Surfaces

Inne propozycje będziemy sukcesywnie przedstawiać na zajęciach.